Algèbre T1
La démonstration proposée (¶) ici utilise les théorèmes fondamentaux de la
théorie de Galois et des résultats du TR.XIII.B. Elle n’est qu’esquissée, ce qui
rend certaines questions difficiles. Le lecteur intéressé pourra consulter [17] pour
une démonstration détaillée.
Supposons que l’extension K/K ne soit pas séparable.
9. Montrer qu’il existe un corps E, K ⊂ E ⊂ K, et un élément a ∈ E, tels que
X p − a soit irréductible sur E. (D’après le TR.V.B, K est une extension radicielle
de K s .)
10. En déduire que K ne peut être de degré fini sur E, d’où une contradiction.
(Utiliser le théorème (XV.C.1).)
L’extension K/K est donc séparable et, puisqu’elle est normale, c’est une extension galoisienne, finie par hypothèse. L’extension K/K(i) est aussi galoisienne,
on note G = Gal(K/K(i)).
Nous allons montrer que |G| = 1, ce qui prouvera que K = K(i). On fait
un raisonnement par l’absurde. Supposons qu’il existe un nombre premier p qui
divise l’ordre de G. D’après le théorème de Sylow (V.1.1), il existe un sous-groupe
H de G d’ordre p. Soit F le corps des invariants de H. On a [K : F ] = p.
11. On suppose que p n’est pas égal à la caractéristique de K. Montrer que K est
un corps de décomposition d’un polynôme X p −a. (Utiliser le théorème (XV.5.2).)
12. On en déduit que le polynôme X p 2 − a est réductible. Montrer que nécessairement p = 2 et a = −4b 4 avec b ∈ F . En déduire une contradiction. (Utiliser le
théorème (XV.C.1).)
13. (¶¶) Montrer que si p est la caractéristique de K, on aboutit à une contradiction.
On a donc prouvé que K = K(i), d’où Gal(K/K) Z/2Z. On notera σ un
générateur de ce groupe.
Il reste à prouver que K est de caractéristique nulle. On suppose que K est
de caractéristique strictement positive. On note F le corps premier de K. Soit ζ
une racine primitive 2 r -ième de l’unité.
14. Montrer que Gal(K/K) correspond à un sous-groupe de Gal(F(ζ)/F).
15. Montrer que le sous-corps de F invariant par σ est égal à F.
16. En déduire que [F(ζ) : F] = 2. En déduire une contradiction pour r assez
grand.
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La démonstration proposée (¶) ici utilise les théorèmes fondamentaux de la
théorie de Galois et des résultats du TR.XIII.B. Elle n’est qu’esquissée, ce qui
rend certaines questions difficiles. Le lecteur intéressé pourra consulter [17] pour
une démonstration détaillée.
Supposons que l’extension K/K ne soit pas séparable.
9. Montrer qu’il existe un corps E, K ⊂ E ⊂ K, et un élément a ∈ E, tels que
X p − a soit irréductible sur E. (D’après le TR.V.B, K est une extension radicielle
de K s .)
10. En déduire que K ne peut être de degré fini sur E, d’où une contradiction.
(Utiliser le théorème (XV.C.1).)
L’extension K/K est donc séparable et, puisqu’elle est normale, c’est une extension galoisienne, finie par hypothèse. L’extension K/K(i) est aussi galoisienne,
on note G = Gal(K/K(i)).
Nous allons montrer que |G| = 1, ce qui prouvera que K = K(i). On fait
un raisonnement par l’absurde. Supposons qu’il existe un nombre premier p qui
divise l’ordre de G. D’après le théorème de Sylow (V.1.1), il existe un sous-groupe
H de G d’ordre p. Soit F le corps des invariants de H. On a [K : F ] = p.
11. On suppose que p n’est pas égal à la caractéristique de K. Montrer que K est
un corps de décomposition d’un polynôme X p −a. (Utiliser le théorème (XV.5.2).)
12. On en déduit que le polynôme X p 2 − a est réductible. Montrer que nécessairement p = 2 et a = −4b 4 avec b ∈ F . En déduire une contradiction. (Utiliser le
théorème (XV.C.1).)
13. (¶¶) Montrer que si p est la caractéristique de K, on aboutit à une contradiction.
On a donc prouvé que K = K(i), d’où Gal(K/K) Z/2Z. On notera σ un
générateur de ce groupe.
Il reste à prouver que K est de caractéristique nulle. On suppose que K est
de caractéristique strictement positive. On note F le corps premier de K. Soit ζ
une racine primitive 2 r -ième de l’unité.
14. Montrer que Gal(K/K) correspond à un sous-groupe de Gal(F(ζ)/F).
15. Montrer que le sous-corps de F invariant par σ est égal à F.
16. En déduire que [F(ζ) : F] = 2. En déduire une contradiction pour r assez
grand.
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