Algèbre T1
5. Soient E/K une extension galoisienne finie et G = Gal(E/K) son groupe de
Galois. Soient f : G −→ E ∗ un 1-cocycle et c un élément de E : on considère
b =
g∈G f (g)(g.c). Montrer que l’on peut choisir l’élément c tel que l’élément b
soit non nul. (Utiliser le théorème (X.3.1).)
6. En déduire que, sous les hypothèses de la question 5, on a H 1 (G, E ∗ ) = 0. (On
vérifiera que f (b) = bf (g) −1 , ce qui prouve que f est un 1-cobord.)
Le résultat ci-dessus est aussi souvent appelé théorème « Hilbert 90 ».
7. En utilisant les résultats des questions 4 et 6, démontrer le théorème (XV.5.1).
8. Montrer qu’on a une version additive du théorème (XV.5.1) en remplaçant les
conditions N (x) = 1 par T r E/K (x) = 0 et x =
y
τ (y) par x = y − τ (y).
♠ TR.XV.C. Irréductibilité du polynôme X
n
− a
Le théorème (XV.5.2) donne une description complète des racines de l’équation
X n − a = 0 lorsque le corps de base contient les racines n-ième de l’unité. Nous
allons maintenant étudier l’irréductibilité du polynôme X n −a, sans cette dernière
hypothèse.
Nous allons établir le théorème suivant :
Théorème XV.C.1. Soient K un corps, n 2 un entier, a ∈ K un élément non
nul. On suppose que a /
∈ K p pour tout nombre premier p divisant n et que si n
est divisible par 4, alors a /
∈ −4K 4 . Alors le polynôme X n − a est irréductible
dans K[X].
Première étape. Nous allons montrer, par récurrence, que l’on peut se ramener au cas où n est une puissance d’un nombre premier.
On pose n = p r m avec p impair, premier à m. On écrit
X
m
− a =
m
i=1
(X − a i )
la factorisation de X m − a en facteurs du premier degré. Dans toute la suite, on
pose α = a 1 . On remplace dans cette expression X par X p r et on obtient
X
n
− a =
m
i=1
(X
p r − a i ).
On peut, par hypothèse de récurrence, supposer que X m − a est irréductible
dans K[X].
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5. Soient E/K une extension galoisienne finie et G = Gal(E/K) son groupe de
Galois. Soient f : G −→ E ∗ un 1-cocycle et c un élément de E : on considère
b =
g∈G f (g)(g.c). Montrer que l’on peut choisir l’élément c tel que l’élément b
soit non nul. (Utiliser le théorème (X.3.1).)
6. En déduire que, sous les hypothèses de la question 5, on a H 1 (G, E ∗ ) = 0. (On
vérifiera que f (b) = bf (g) −1 , ce qui prouve que f est un 1-cobord.)
Le résultat ci-dessus est aussi souvent appelé théorème « Hilbert 90 ».
7. En utilisant les résultats des questions 4 et 6, démontrer le théorème (XV.5.1).
8. Montrer qu’on a une version additive du théorème (XV.5.1) en remplaçant les
conditions N (x) = 1 par T r E/K (x) = 0 et x =
y
τ (y) par x = y − τ (y).
♠ TR.XV.C. Irréductibilité du polynôme X
n
− a
Le théorème (XV.5.2) donne une description complète des racines de l’équation
X n − a = 0 lorsque le corps de base contient les racines n-ième de l’unité. Nous
allons maintenant étudier l’irréductibilité du polynôme X n −a, sans cette dernière
hypothèse.
Nous allons établir le théorème suivant :
Théorème XV.C.1. Soient K un corps, n 2 un entier, a ∈ K un élément non
nul. On suppose que a /
∈ K p pour tout nombre premier p divisant n et que si n
est divisible par 4, alors a /
∈ −4K 4 . Alors le polynôme X n − a est irréductible
dans K[X].
Première étape. Nous allons montrer, par récurrence, que l’on peut se ramener au cas où n est une puissance d’un nombre premier.
On pose n = p r m avec p impair, premier à m. On écrit
X
m
− a =
m
i=1
(X − a i )
la factorisation de X m − a en facteurs du premier degré. Dans toute la suite, on
pose α = a 1 . On remplace dans cette expression X par X p r et on obtient
X
n
− a =
m
i=1
(X
p r − a i ).
On peut, par hypothèse de récurrence, supposer que X m − a est irréductible
dans K[X].
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