Thèmes de réflexion
♠ TR.XV.B. Interprétation cohomologique
du théorème « Hilbert 90 »
Introduisons d’abord quelques définitions très élémentaires de cohomologie des
groupes. Soient G un groupe, A un groupe abélien, dont on notera la loi additivement, et G × A −→ A, (g, a) → g.a une action de G sur A par automorphismes
(cf. définition IV.3.1).
On appelle 1-cocycle ou morphisme croisé une application f : G −→ A
vérifiant f (gg ) = g.f (g ) + f (g), pour tous g et g dans G.
1. Montrer que l’ensemble Z 1 (G, A) de tous les 1-cocycles de G dans A est un
groupe abélien pour la loi définie par (f, f ) → f + f .
Un 1-cocycle f est un 1-cobord s’il existe a ∈ A tel que f (g) = g.a − a, pour
tout g ∈ G.
2. Montrer que l’ensemble B 1 (G, A) de tous les 1-cobords est un sous-groupe de
Z 1 (G, A).
On note H 1 (G, A) le groupe quotient Z 1 (G, A)/B 1 (G, A) et on l’appelle
groupe de cohomologie de G à coefficients dans A. On pose H 0 (G, A) = A G
le sous-groupe formé des éléments de A invariants sous l’action de G.
3. Vérifier que si l’action de G sur A est triviale (i.e. g.a = a pour tout g ∈ G et
tout a ∈ A), on a H 0 (G, A) = A et H 1 (G, A) = Hom(G, A).
On suppose que le groupe G est cyclique d’ordre n, engendré par un générateur
τ . On considère les deux endomorphismes de A suivants :
N =
g∈G
g =
n−1
i=0
τ
i , D = τ − 1.
On a Ker(N ) = {a ∈ A|N (a) = 0} et D(A) = {τ.a − a|a ∈ A}.
4. Montrer que H 1 (G, A) Ker(N )/D(A).
Nous allons maintenant appliquer ces résultats dans le cadre des extensions
galoisiennes.
Soient E un corps et E ∗ le groupe de ses éléments non nuls ; le groupe E ∗
est un groupe abélien dont la loi est notée multiplicativement. Soit G un sousgroupe du groupe Aut(E) des automorphismes de corps de E. Alors l’application
G × E ∗ définie par (f, x) → f (x), avec f ∈ G et x ∈ E ∗ , définit une action du
groupe G sur le groupe E ∗ . On peut donc appliquer les constructions précédentes
à cette situation (on prendra soin de passer de la notation additive à la notation
multiplicative), et on obtient le groupe H 1 (G, E ∗ ).
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♠ TR.XV.B. Interprétation cohomologique
du théorème « Hilbert 90 »
Introduisons d’abord quelques définitions très élémentaires de cohomologie des
groupes. Soient G un groupe, A un groupe abélien, dont on notera la loi additivement, et G × A −→ A, (g, a) → g.a une action de G sur A par automorphismes
(cf. définition IV.3.1).
On appelle 1-cocycle ou morphisme croisé une application f : G −→ A
vérifiant f (gg ) = g.f (g ) + f (g), pour tous g et g dans G.
1. Montrer que l’ensemble Z 1 (G, A) de tous les 1-cocycles de G dans A est un
groupe abélien pour la loi définie par (f, f ) → f + f .
Un 1-cocycle f est un 1-cobord s’il existe a ∈ A tel que f (g) = g.a − a, pour
tout g ∈ G.
2. Montrer que l’ensemble B 1 (G, A) de tous les 1-cobords est un sous-groupe de
Z 1 (G, A).
On note H 1 (G, A) le groupe quotient Z 1 (G, A)/B 1 (G, A) et on l’appelle
groupe de cohomologie de G à coefficients dans A. On pose H 0 (G, A) = A G
le sous-groupe formé des éléments de A invariants sous l’action de G.
3. Vérifier que si l’action de G sur A est triviale (i.e. g.a = a pour tout g ∈ G et
tout a ∈ A), on a H 0 (G, A) = A et H 1 (G, A) = Hom(G, A).
On suppose que le groupe G est cyclique d’ordre n, engendré par un générateur
τ . On considère les deux endomorphismes de A suivants :
N =
g∈G
g =
n−1
i=0
τ
i , D = τ − 1.
On a Ker(N ) = {a ∈ A|N (a) = 0} et D(A) = {τ.a − a|a ∈ A}.
4. Montrer que H 1 (G, A) Ker(N )/D(A).
Nous allons maintenant appliquer ces résultats dans le cadre des extensions
galoisiennes.
Soient E un corps et E ∗ le groupe de ses éléments non nuls ; le groupe E ∗
est un groupe abélien dont la loi est notée multiplicativement. Soit G un sousgroupe du groupe Aut(E) des automorphismes de corps de E. Alors l’application
G × E ∗ définie par (f, x) → f (x), avec f ∈ G et x ∈ E ∗ , définit une action du
groupe G sur le groupe E ∗ . On peut donc appliquer les constructions précédentes
à cette situation (on prendra soin de passer de la notation additive à la notation
multiplicative), et on obtient le groupe H 1 (G, E ∗ ).
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