Algèbre T1
5. Soient p et q des nombres premiers impairs distincts. Montrer que
p
q
q
p
= (−1)
p−1
2
q−1
2 .
Cette dernière égalité est la loi de réciprocité quadratique de Gauss.
Elle permet, entre autres, de ramener le calcul du symbole de Legendre à des
calculs simples, par réductions successives. Par exemple,
1965
2311
=
3
2311
5
2311
131
2311
.
Comme 2311 ≡ 1 mod(3), on a
3
2311
=
2311
3
(−1) 1155×1 = −
1
3
= −1. On
procède de la même manière pour les deux autres termes et on trouve
1965
2311
= 1.
Comme application de ce qui précède, nous allons montrer le résultat suivant :
toute extension quadratique de Q est contenue dans une extension cyclotomique.
Plus précisément :
Si K/Q est une extension de degré 2, il existe une racine de l’unité
ζ telle que K ⊂ Q(ζ).
On sait que si K/Q est une extension de degré 2, il existe un entier d, sans
facteur carré, tel que K = Q(
√
d). Alors d s’écrit d = 2 e p 1 . . . p r , avec e = 0, 1 et
les p i sont premiers impairs, d’où
K ⊂ Q
√
−1,
√
2,
√ p 1 , . . . ,
√ p r
.
6. Soit ζ 8 une racine primitive 8-ième de l’unité. Montrer que Q(
√
−1,
√
2) est
contenu dans Q(ζ 8 ).
7. Soit p un nombre premier impair et ζ p une racine primitive p-ième de l’unité.
Montrer que
√ p ∈ Q(ζ p ). (Utiliser la question 3.)
8. En déduire que K ⊂ Q(ζ m ), avec m = 8p 1 . . . p r .
Le résultat démontré ci-dessus est un cas particulier de l’important théorème
suivant :
Théorème (Kronecker-Weber). Si K/Q est une extension abélienne finie, il existe
une racine de l’unité ζ telle que K ⊂ Q(ζ).
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