THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.XV.A. Symboles de Legendre. Loi de réciprocité
quadratique
Dans tout ce TR, p désigne un nombre premier impair.
Pour tout x ∈ F ∗
p , on définit le symbole de Legendre
x
p
de la manière
suivante :
x
p
= 1 ⇐⇒ x ∈ F
∗2
p ,
x
p
= −1 ⇐⇒ x /
∈ F
∗2
p .
Soit d un entier premier à p. On dit que d est un résidu quadratique modulo p si
d
p
= 1, où d est un représentant de la classe de d modulo p, et que d
est non résidu quadratique modulo p si
d
p
= −1.
1. Montrer que pour tout x ∈ F ∗
p ,
x
p
= x
p−1
2 .
2. Montrer que l’application F ∗
p −→ {1, −1}, définie par x →
x
p
, est un morphisme de groupes.
Soient K un corps de caractéristique différente de p et ζ une racine primitive
p-ième de l’unité (dans une clôture algébrique de K). Pour tout x ∈ F ∗
p , ζ x est
bien défini par ζ x = ζ k , avec x ≡ k mod(p). On pose
s =
x∈F ∗
p
x
p
ζ
x
et on appelle cet élément somme de Gauss sur F p .
3. Montrer que s 2 =
−1
p
p = (−1)
p−1
2 p.
4. Soit q un nombre premier, q = 2, q = p. Montrer que s q =
q
p
s et en déduire
que s q−1 =
q
p
.