Chapitre XV. Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
Exercice XV.5. Théorème Hilbert 90, version additive.
Soit E/K une extension cyclique finie et soit τ un générateur de son groupe
de Galois. Montrer qu’un élément x ∈ E est tel que T r(x) = 0 si et seulement
s’il existe y ∈ E tel que x = y − τ (y). (Pour la définition de la trace, cf. exercice (XIII.5).) On sait (loc. cit.) qu’il existe un élément z ∈ E tel que T r(z) = 0 ;
considérer l’élément
y =
1
T r(z)
(xτ (z) + (x + τ (x))τ
2 (z) + . . . + (x + τ (x) + . . . + τ
n−2 (x))τ
n−1 (z)).
Remarque XV.5.2. Un résultat plus général, souvent appelé aussi théorème « Hilbert 90 », sera donné à la fin de ce chapitre (TR.XV.B).
Théorème XV.5.2. Soient n un entier positif et K un corps de caractéristique première à n, contenant les racines n-ième de l’unité.
(i) Soit E/K une extension cyclique de degré n. Alors il existe a ∈ K et α ∈ E
racine du polynôme X n − a, tels que E = K(α).
(ii) Réciproquement, soient a ∈ K et α une racine du polynôme X n − a. Alors
l’extension K(α)/K est cyclique, de degré d divisant n et α d ∈ K.
Démonstration. (i). Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité dans K et τ un
générateur de G = Gal(E/K). Puisque ζ ∈ K, on a N (ζ) = ζ n = 1. D’après
le théorème Hilbert 90, il existe α ∈ E tel que ζ =
α
τ (α) . On en déduit que
τ (α) = ζ −1 α, . . ., τ i (α) = ζ −i α, i = 1, . . . , n. Donc les éléments ζ −i α sont n
conjugués distincts de α sur K, d’où [K(α) : K] n. Mais, K(α) ⊂ E et
[E : K] = n, d’où E = K(α). De plus, si on pose a = α n , on a
τ
i (a) = τ
i (α
n ) = τ
i (α)
n = (ζ
−i )
n α
n = α
n = a.
Autrement dit, a est laissé fixe par G, d’où a ∈ K, puisque l’extension E/K est
galoisienne. Par conséquent, α est bien racine du polynôme X n − a de K[X].
(ii). Soient a ∈ K et α une racine du polynôme X n − a. Alors, les ζ i α,
i = 1, . . . , n, sont aussi racines de X n − a et K(α) est un corps de décomposition
sur K de X n − a, dans lequel toutes les racines sont distinctes. Donc l’extension
K(α)/K est galoisienne. Soit G son groupe de Galois. Pour tout σ ∈ G, σ(α) est
racine de X n − a, donc σ(α) = ε σ α, où ε σ est une racine de l’unité. L’application
σ → ε σ est un morphisme injectif de groupes de G dans le groupe des racines
n-ième de l’unité. Donc G est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe cyclique
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Exercice XV.5. Théorème Hilbert 90, version additive.
Soit E/K une extension cyclique finie et soit τ un générateur de son groupe
de Galois. Montrer qu’un élément x ∈ E est tel que T r(x) = 0 si et seulement
s’il existe y ∈ E tel que x = y − τ (y). (Pour la définition de la trace, cf. exercice (XIII.5).) On sait (loc. cit.) qu’il existe un élément z ∈ E tel que T r(z) = 0 ;
considérer l’élément
y =
1
T r(z)
(xτ (z) + (x + τ (x))τ
2 (z) + . . . + (x + τ (x) + . . . + τ
n−2 (x))τ
n−1 (z)).
Remarque XV.5.2. Un résultat plus général, souvent appelé aussi théorème « Hilbert 90 », sera donné à la fin de ce chapitre (TR.XV.B).
Théorème XV.5.2. Soient n un entier positif et K un corps de caractéristique première à n, contenant les racines n-ième de l’unité.
(i) Soit E/K une extension cyclique de degré n. Alors il existe a ∈ K et α ∈ E
racine du polynôme X n − a, tels que E = K(α).
(ii) Réciproquement, soient a ∈ K et α une racine du polynôme X n − a. Alors
l’extension K(α)/K est cyclique, de degré d divisant n et α d ∈ K.
Démonstration. (i). Soit ζ une racine primitive n-ième de l’unité dans K et τ un
générateur de G = Gal(E/K). Puisque ζ ∈ K, on a N (ζ) = ζ n = 1. D’après
le théorème Hilbert 90, il existe α ∈ E tel que ζ =
α
τ (α) . On en déduit que
τ (α) = ζ −1 α, . . ., τ i (α) = ζ −i α, i = 1, . . . , n. Donc les éléments ζ −i α sont n
conjugués distincts de α sur K, d’où [K(α) : K] n. Mais, K(α) ⊂ E et
[E : K] = n, d’où E = K(α). De plus, si on pose a = α n , on a
τ
i (a) = τ
i (α
n ) = τ
i (α)
n = (ζ
−i )
n α
n = α
n = a.
Autrement dit, a est laissé fixe par G, d’où a ∈ K, puisque l’extension E/K est
galoisienne. Par conséquent, α est bien racine du polynôme X n − a de K[X].
(ii). Soient a ∈ K et α une racine du polynôme X n − a. Alors, les ζ i α,
i = 1, . . . , n, sont aussi racines de X n − a et K(α) est un corps de décomposition
sur K de X n − a, dans lequel toutes les racines sont distinctes. Donc l’extension
K(α)/K est galoisienne. Soit G son groupe de Galois. Pour tout σ ∈ G, σ(α) est
racine de X n − a, donc σ(α) = ε σ α, où ε σ est une racine de l’unité. L’application
σ → ε σ est un morphisme injectif de groupes de G dans le groupe des racines
n-ième de l’unité. Donc G est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe cyclique
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