XV.5. Extensions cycliques
Définition XV.5.2. Soient E/K une extension finie séparable et normale et
G = Gal(E/K). La norme N (x) d’un élément x ∈ E est définie par
N (x) =
s∈G s(x).
Remarque XV.5.1. Cette expression est bien définie puisque |G| < +∞. Si l’extension E/K est galoisienne, alors N (x) ∈ K. En effet, pour tout τ ∈ G, on a
τ (N (x)) = τ (
s∈G s(x)) =
s∈G τ ◦ s(x). Mais, puisque |G| < +∞, quand s
parcourt G, τ ◦ s aussi, d’où τ (N (x)) = N (x) et N (x) ∈ Inv(G) = K.
Théorème XV.5.1 (Hilbert 90, version multiplicative). Soit E/K une extension
normale finie dont le groupe de Galois G est cyclique, engendré par un élément τ .
Un élément x ∈ E est tel que N (x) = 1 si et seulement s’il existe y ∈ E, y = 0,
tel que x =
y
τ (y) .
Démonstration. Supposons que | G | = n et qu’il existe y = 0 dans E tel que
x =
y
τ (y) . Alors,
N (x) = xτ (x)τ
2 (x) . . . τ
n−1 (x)
=
y
τ (y)
τ (y)
τ 2 (y)
τ 2 (y)
τ 3 (y)
. . .
τ n−1 (y)
τ n (y)
=
y
τ n (y)
=
y
y
= 1.
Réciproquement, supposons que N (x) = 1 ; pour tout élément z ∈ E, on pose
u 0 = xz, u 1 = (xτ (x))τ (z), . . . , u i = (xτ (x) . . . τ
i (x))τ
i (z)
pour 0 i n − 1. Alors u n−1 = N (x)τ n−1 (z) = τ n−1 (z). De plus u i+1 = xτ (u i ),
0 i n − 2. On définit alors y = u 0 + u 1 + . . . + u n−1 . Supposons que y = 0
pour tout z ∈ E. On pose λ i = xτ (x) . . . τ i (x) ; on a alors :
λ 0 τ
0 (z) + λ 1 τ (z) + . . . + λ n−1 τ
n−1 (z) = 0.
Par conséquent, les automorphismes distincts τ i sont linéairement dépendants sur
E, ce qui est en contradiction avec le théorème (X.3.1). D’où, il existe z tel que y
soit non nul. On a :
τ (y) = τ (u 0 ) + . . . + τ (u n−1 )
=
1
x
(u 1 + . . . + u n−1 ) + τ
n (z)
=
1
x
(u 0 + . . . + u n−1 )
=
y
x
d’où x =
y
τ (y) .
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