Chapitre XV. Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
(iii) Dans une extension algébriquement close de F q , il existe une seule extension de F q , de degré d, isomorphe à F p m .
(iv) L’extension F p m /F q est abélienne ; son groupe de Galois est cyclique
d’ordre d, engendré par ϕ n , où ϕ est l’automorphisme de Frobenius de F q /F p
(i.e. ϕ(x) = x p ).
Exercice XV.4.
1. Soient F un corps fini et P (X) ∈ F [X] un polynôme irréductible de degré
n. Montrer que le groupe Gal(P ) est engendré par le n-cycle (1, . . . , n), après
numérotation convenable des racines lors de l’identification de Gal(P ) avec un
sous-groupe de S n . (On remarquera que, dans le cas des corps finis de cardinal q,
un corps de rupture d’un polynôme irréductible est corps de décomposition, en
faisant agir le Frobenius x → x q .)
2. Soient P (X) ∈ F [X] un polynôme de degré n et
P (X) = P 1 (X) . . . P r (X)
sa décomposition en irréductibles, les racines de chaque facteur étant supposées de
multiplicité 1 (P possède donc n racines distinctes dans une clôture algébrique F
de F ). On note n i = deg(P i (X)), 1 i r. Montrer que le groupe Gal(P ) est
engendré par le produit des r cycles
(1, . . . , n 1 ), (n 1 + 1, . . . n 1 + n 2 ), . . . , (n 1 + . . . + n r−1 + 1, . . . , n)
quitte à numéroter correctement les racines. (On remarquera que si x i désigne
une racine quelconque de P i dans F , alors K = F (x 1 , . . . , x r ) est un corps de
décomposition de P et que x
q m
i
= x i pour tout i si et seulement si m est un
multiple de μ = ppcm(n i ). En déduire que K/F est de degré μ et conclure.)
XV.5. Extensions cycliques
Définition XV.5.1. On appelle extension cyclique d’un corps K toute extension E/K galoisienne finie dont le groupe de Galois est cyclique.
Les corps finis sont des exemples de telles extensions.
Pour étudier cette classe d’extensions, nous allons d’abord établir un résultat très important, connu sous le nom de théorème de Hilbert 90. Rappelons la
définition de la norme donnée au chapitre XIII (cf. définition XIII.5.1 et exercice XIII.5).
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(iii) Dans une extension algébriquement close de F q , il existe une seule extension de F q , de degré d, isomorphe à F p m .
(iv) L’extension F p m /F q est abélienne ; son groupe de Galois est cyclique
d’ordre d, engendré par ϕ n , où ϕ est l’automorphisme de Frobenius de F q /F p
(i.e. ϕ(x) = x p ).
Exercice XV.4.
1. Soient F un corps fini et P (X) ∈ F [X] un polynôme irréductible de degré
n. Montrer que le groupe Gal(P ) est engendré par le n-cycle (1, . . . , n), après
numérotation convenable des racines lors de l’identification de Gal(P ) avec un
sous-groupe de S n . (On remarquera que, dans le cas des corps finis de cardinal q,
un corps de rupture d’un polynôme irréductible est corps de décomposition, en
faisant agir le Frobenius x → x q .)
2. Soient P (X) ∈ F [X] un polynôme de degré n et
P (X) = P 1 (X) . . . P r (X)
sa décomposition en irréductibles, les racines de chaque facteur étant supposées de
multiplicité 1 (P possède donc n racines distinctes dans une clôture algébrique F
de F ). On note n i = deg(P i (X)), 1 i r. Montrer que le groupe Gal(P ) est
engendré par le produit des r cycles
(1, . . . , n 1 ), (n 1 + 1, . . . n 1 + n 2 ), . . . , (n 1 + . . . + n r−1 + 1, . . . , n)
quitte à numéroter correctement les racines. (On remarquera que si x i désigne
une racine quelconque de P i dans F , alors K = F (x 1 , . . . , x r ) est un corps de
décomposition de P et que x
q m
i
= x i pour tout i si et seulement si m est un
multiple de μ = ppcm(n i ). En déduire que K/F est de degré μ et conclure.)
XV.5. Extensions cycliques
Définition XV.5.1. On appelle extension cyclique d’un corps K toute extension E/K galoisienne finie dont le groupe de Galois est cyclique.
Les corps finis sont des exemples de telles extensions.
Pour étudier cette classe d’extensions, nous allons d’abord établir un résultat très important, connu sous le nom de théorème de Hilbert 90. Rappelons la
définition de la norme donnée au chapitre XIII (cf. définition XIII.5.1 et exercice XIII.5).
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