XV.4. Corps finis
Exercice XV.3. Soient p un nombre premier, n et r des entiers positifs.
a) Montrer que si (r, p n −1) = 1, tout élément de F p n est une puissance r-ième.
b) Montrer que si r divise p n −1, un élément x de F p n est une puissance r-ième
si et seulement si x (p n −1)/r = 1.
Rappelons que nous avons montré au TR.IX.A le résultat suivant :
Proposition XV.4.1. Si K un corps fini de caractéristique p > 0, le morphisme de
Frobenius
ϕ : K −→ K, ϕ(x) = x
p
est un automorphisme.
Théorème XV.4.3. Soient p un nombre premier, n > 0 un entier, F q un corps à
q = p n éléments.
(i) Tout automorphisme de F q est un F p -automorphisme.
(ii) L’extension F q /F p est abélienne ; son groupe de Galois est cyclique, engendré par l’automorphisme de Frobenius.
Démonstration. (i). Soit s un automorphisme de F q . Montrons que s laisse fixes les
éléments de F p . Soit x ∈ F p ; on a x p = x, d’où s(x p ) = s(x) p = s(x) et s(x) ∈ F p .
Donc s |Fp est un automorphisme de F p , d’où s | Fp est égal à l’identité.
(ii). Par construction, l’extension F q /F p est galoisienne, de degré n. Soit
ϕ l’automorphisme de Frobenius de F q et G le groupe engendré par ϕ. On a
ϕ n (x) = x p n = x pour tout x ∈ F q , donc ϕ n = id. Soit d n l’ordre de ϕ. Pour
tout x de F q , on a ϕ d (x) = x p d = x ; on en déduit que tout élément de F q est racine
du polynôme X p d − X, par conséquent, d = n. Puisque [F q : F p ] = n, on sait que
Gal(F q /F p ) est d’ordre n. On a donc G ⊂ Gal(F q /F p ) et | G | = | Gal(F q /F p ) |.
D’où l’égalité Gal(F q /F p ) = G = < ϕ >.
On obtient, de la même manière, la généralisation suivante.
Théorème XV.4.4. Soient p un nombre premier, m et n deux entiers positifs.
(i) F p n et F p m étant considérés comme deux sous-corps de F p , F p n est contenu
dans F p m si et seulement si n divise m.
Supposons que m = nd et posons q = p n .
(ii) Pour tout générateur ζ du groupe cyclique F ∗
p m , on a F p m = F q (ζ).
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Exercice XV.3. Soient p un nombre premier, n et r des entiers positifs.
a) Montrer que si (r, p n −1) = 1, tout élément de F p n est une puissance r-ième.
b) Montrer que si r divise p n −1, un élément x de F p n est une puissance r-ième
si et seulement si x (p n −1)/r = 1.
Rappelons que nous avons montré au TR.IX.A le résultat suivant :
Proposition XV.4.1. Si K un corps fini de caractéristique p > 0, le morphisme de
Frobenius
ϕ : K −→ K, ϕ(x) = x
p
est un automorphisme.
Théorème XV.4.3. Soient p un nombre premier, n > 0 un entier, F q un corps à
q = p n éléments.
(i) Tout automorphisme de F q est un F p -automorphisme.
(ii) L’extension F q /F p est abélienne ; son groupe de Galois est cyclique, engendré par l’automorphisme de Frobenius.
Démonstration. (i). Soit s un automorphisme de F q . Montrons que s laisse fixes les
éléments de F p . Soit x ∈ F p ; on a x p = x, d’où s(x p ) = s(x) p = s(x) et s(x) ∈ F p .
Donc s |Fp est un automorphisme de F p , d’où s | Fp est égal à l’identité.
(ii). Par construction, l’extension F q /F p est galoisienne, de degré n. Soit
ϕ l’automorphisme de Frobenius de F q et G le groupe engendré par ϕ. On a
ϕ n (x) = x p n = x pour tout x ∈ F q , donc ϕ n = id. Soit d n l’ordre de ϕ. Pour
tout x de F q , on a ϕ d (x) = x p d = x ; on en déduit que tout élément de F q est racine
du polynôme X p d − X, par conséquent, d = n. Puisque [F q : F p ] = n, on sait que
Gal(F q /F p ) est d’ordre n. On a donc G ⊂ Gal(F q /F p ) et | G | = | Gal(F q /F p ) |.
D’où l’égalité Gal(F q /F p ) = G = < ϕ >.
On obtient, de la même manière, la généralisation suivante.
Théorème XV.4.4. Soient p un nombre premier, m et n deux entiers positifs.
(i) F p n et F p m étant considérés comme deux sous-corps de F p , F p n est contenu
dans F p m si et seulement si n divise m.
Supposons que m = nd et posons q = p n .
(ii) Pour tout générateur ζ du groupe cyclique F ∗
p m , on a F p m = F q (ζ).
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