Chapitre XV. Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
L’étude des corps finis se ramène donc à celle des corps commutatifs finis.
Nous allons maintenant compléter les résultats établis au chapitre IX. Nous allons
énoncer un théorème général et renvoyer au chapitre IX pour les démonstrations
des résultats établis alors.
Théorème XV.4.2. (i) Un corps fini a une caractéristique p > 0 et son cardinal
q est une puissance de p. Si q = p n , son groupe additif est somme directe de n
groupes cycliques d’ordre p, son groupe multiplicatif est cyclique d’ordre q − 1.
(ii) Pour tout nombre premier p et tout entier n > 0, il existe un corps F q
ayant q = p n éléments. Ce corps est un corps de décomposition du polynôme
X q − X sur le corps premier F p = Z/pZ et tout élément de F q est racine de ce
polynôme.
(iii) Tout corps fini à q = p n éléments est isomorphe à F q .
Démonstration. Pour l’assertion (i), cf. chapitre IX.
Démontrons l’assertion (ii). Soit q = p n ; on considère dans F p un corps de
décomposition, noté F q , du polynôme X q − X sur F p . Le polynôme dérivé étant
égal à −1, toutes les racines de X q −X sont simples. Il y a donc, dans F q , q éléments
distincts qui sont les racines de X q − X. Montrons que ces racines forment un
corps : soient α et β deux quelconques de ces racines. On a :
(α + β)
q
− (α + β) = α
q + β
q
− α − β = 0,
(−α)
q
− (−α) = (−1)
q α
q + α ;
si p est impair, (−1) q = −1 et −α est racine ; si p est pair −1 = 1 dans Z/2Z et
−α est racine. De plus,
(αβ)
q
− αβ = α
q β
q
− αβ = αβ − αβ = 0
et
α = 0, (α
−1 )
q
− α
−1 = (α
q )
−1
− α
−1 = α
−1
− α
−1 = 0.
Les racines de X q − X forment un corps et elles engendrent F q sur F p . Ce corps
est donc égal à F q , ce qui prouve (ii).
Démontrons l’assertion (iii). Si F est un corps ayant q éléments, tout élément
x ∈ F vérifie x q = x (cf. chapitre IX), donc est racine du polynôme X q − X.
Ceci entraîne que le polynôme X q − X a q racines distinctes dans F , qui sont
donc toutes simples. Autrement dit F est un corps de décomposition (sur F p ) du
polynôme X q − X, il est donc isomorphe à F q .
374
L’étude des corps finis se ramène donc à celle des corps commutatifs finis.
Nous allons maintenant compléter les résultats établis au chapitre IX. Nous allons
énoncer un théorème général et renvoyer au chapitre IX pour les démonstrations
des résultats établis alors.
Théorème XV.4.2. (i) Un corps fini a une caractéristique p > 0 et son cardinal
q est une puissance de p. Si q = p n , son groupe additif est somme directe de n
groupes cycliques d’ordre p, son groupe multiplicatif est cyclique d’ordre q − 1.
(ii) Pour tout nombre premier p et tout entier n > 0, il existe un corps F q
ayant q = p n éléments. Ce corps est un corps de décomposition du polynôme
X q − X sur le corps premier F p = Z/pZ et tout élément de F q est racine de ce
polynôme.
(iii) Tout corps fini à q = p n éléments est isomorphe à F q .
Démonstration. Pour l’assertion (i), cf. chapitre IX.
Démontrons l’assertion (ii). Soit q = p n ; on considère dans F p un corps de
décomposition, noté F q , du polynôme X q − X sur F p . Le polynôme dérivé étant
égal à −1, toutes les racines de X q −X sont simples. Il y a donc, dans F q , q éléments
distincts qui sont les racines de X q − X. Montrons que ces racines forment un
corps : soient α et β deux quelconques de ces racines. On a :
(α + β)
q
− (α + β) = α
q + β
q
− α − β = 0,
(−α)
q
− (−α) = (−1)
q α
q + α ;
si p est impair, (−1) q = −1 et −α est racine ; si p est pair −1 = 1 dans Z/2Z et
−α est racine. De plus,
(αβ)
q
− αβ = α
q β
q
− αβ = αβ − αβ = 0
et
α = 0, (α
−1 )
q
− α
−1 = (α
q )
−1
− α
−1 = α
−1
− α
−1 = 0.
Les racines de X q − X forment un corps et elles engendrent F q sur F p . Ce corps
est donc égal à F q , ce qui prouve (ii).
Démontrons l’assertion (iii). Si F est un corps ayant q éléments, tout élément
x ∈ F vérifie x q = x (cf. chapitre IX), donc est racine du polynôme X q − X.
Ceci entraîne que le polynôme X q − X a q racines distinctes dans F , qui sont
donc toutes simples. Autrement dit F est un corps de décomposition (sur F p ) du
polynôme X q − X, il est donc isomorphe à F q .
374