XV.4. Corps finis
XV.4. Corps finis
Contrairement à ce que nous avons considéré jusqu’à maintenant, nous allons
supposer que le corps K est non nécessairement commutatif, c’est-à-dire que la
multiplication n’est pas commutative (et donc le groupe K ∗ n’est pas abélien).
Nous avons vu au TR.IX.B un exemple d’un tel corps : le corps des quaternions.
Nous allons démontrer le célèbre théorème de Wedderburn :
Théorème XV.4.1. Un corps fini est commutatif.
Démonstration. Soit F un corps fini, supposé non nécessairement commutatif. On
considère son centre Z(F ) = {x ∈ F | ∀y ∈ F, xy = yx}. Il est clair que Z(F ) est
un sous-corps commutatif fini de F , donc de caractéristique p > 0. Par conséquent,
en notant F p le corps premier de caractéristique p, (F p Z/pZ) et [Z(F ) : F p ] = f ,
le cardinal de Z(F ) est q = p f . La multiplication dans F munit F d’une structure
de Z(F )-espace vectoriel et, puisque F est fini, dim Z(F ) F = n < +∞. De sorte
que le cardinal de F est q n = (p f ) n . Soit x un élément non nul, donc inversible,
de F . On considère Z(x) = {y ∈ F | xy = yx} : il est clair que Z(x) est
un sous-corps de F contenant Z(F ). Le cardinal de Z(x) est égal à q d(x) , où
d(x) = dim Z(F ) Z(x). On considère l’action du groupe F ∗ = F \ {0} sur lui-même
par conjugaison ; on obtient une partition de F ∗ en orbites (disjointes) et ces
orbites sont en nombre fini. Une application immédiate de l’équation aux classes
(corollaire IV.2.1) donne l’égalité :
q
n
− 1 = q − 1 +
x∈P
q n − 1
q d(x) − 1
,
()
où P est un ensemble de représentants x ∈ F des orbites non ponctuelles, (i.e.
x ∈ Z(F )). Cet ensemble P est vide si et seulement si F = Z(F ), i.e. n = 1.
Supposons que n > 1. On considère le polynôme cyclotomique Φ n (X). Il résulte
de l’égalité X n − 1 =
d|n Φ d (X), que pour tout entier d divisant n, d = n, le
polynôme Φ n (X) divise le polynôme
X n −1
X d −1
. On en déduit que Φ n (q) divise q n − 1
et
x∈P
q n − 1
q d(x) − 1
, donc, d’après (), il divise aussi q − 1. Or, Φ n (q) =
i
(q − ζ i ), où
les ζ i sont les racines n-ième primitives de l’unité, donc différentes de 1 et, vues
dans C, de module 1. Comme q 2, on a | q − ζ i |> q − 1. On en déduit que Φ n (q)
ne peut diviser q − 1 dans Z, d’où une contradiction. Par conséquent, n = 1, i.e.
F = Z(F ) et F est commutatif.
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XV.4. Corps finis
Contrairement à ce que nous avons considéré jusqu’à maintenant, nous allons
supposer que le corps K est non nécessairement commutatif, c’est-à-dire que la
multiplication n’est pas commutative (et donc le groupe K ∗ n’est pas abélien).
Nous avons vu au TR.IX.B un exemple d’un tel corps : le corps des quaternions.
Nous allons démontrer le célèbre théorème de Wedderburn :
Théorème XV.4.1. Un corps fini est commutatif.
Démonstration. Soit F un corps fini, supposé non nécessairement commutatif. On
considère son centre Z(F ) = {x ∈ F | ∀y ∈ F, xy = yx}. Il est clair que Z(F ) est
un sous-corps commutatif fini de F , donc de caractéristique p > 0. Par conséquent,
en notant F p le corps premier de caractéristique p, (F p Z/pZ) et [Z(F ) : F p ] = f ,
le cardinal de Z(F ) est q = p f . La multiplication dans F munit F d’une structure
de Z(F )-espace vectoriel et, puisque F est fini, dim Z(F ) F = n < +∞. De sorte
que le cardinal de F est q n = (p f ) n . Soit x un élément non nul, donc inversible,
de F . On considère Z(x) = {y ∈ F | xy = yx} : il est clair que Z(x) est
un sous-corps de F contenant Z(F ). Le cardinal de Z(x) est égal à q d(x) , où
d(x) = dim Z(F ) Z(x). On considère l’action du groupe F ∗ = F \ {0} sur lui-même
par conjugaison ; on obtient une partition de F ∗ en orbites (disjointes) et ces
orbites sont en nombre fini. Une application immédiate de l’équation aux classes
(corollaire IV.2.1) donne l’égalité :
q
n
− 1 = q − 1 +
x∈P
q n − 1
q d(x) − 1
,
()
où P est un ensemble de représentants x ∈ F des orbites non ponctuelles, (i.e.
x ∈ Z(F )). Cet ensemble P est vide si et seulement si F = Z(F ), i.e. n = 1.
Supposons que n > 1. On considère le polynôme cyclotomique Φ n (X). Il résulte
de l’égalité X n − 1 =
d|n Φ d (X), que pour tout entier d divisant n, d = n, le
polynôme Φ n (X) divise le polynôme
X n −1
X d −1
. On en déduit que Φ n (q) divise q n − 1
et
x∈P
q n − 1
q d(x) − 1
, donc, d’après (), il divise aussi q − 1. Or, Φ n (q) =
i
(q − ζ i ), où
les ζ i sont les racines n-ième primitives de l’unité, donc différentes de 1 et, vues
dans C, de module 1. Comme q 2, on a | q − ζ i |> q − 1. On en déduit que Φ n (q)
ne peut diviser q − 1 dans Z, d’où une contradiction. Par conséquent, n = 1, i.e.
F = Z(F ) et F est commutatif.
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