Chapitre XV. Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
primitive de l’unité est racine n-ième de l’unité si d divise n. On a donc
X
n
− 1 =
d|n
Φ d (X)
ou encore
Φ n (X) =
X n − 1
d
Par conséquent, on peut construire Φ n (X) dès qu’on connaît Φ d (X) pour les
diviseurs d de n. Ceci permet de dégager un procédé de construction par récurrence
des polynômes cyclotomiques.
En particulier, comme Φ 1 (X) = X − 1, si n est un nombre premier, on a
X n − 1 = (X − 1)Φ n (X), d’où Φ n (X) = X n−1 + . . . + X + 1.
Remarque XV.3.2. La méthode de calcul de Φ n (X) par récurrence indiquée cidessus, pour K = Q, prouve que Φ n (X) ∈ Z[X] et que les coefficients sont déterminés par la même formule de récurrence quel que soit le corps K. On démontre
ainsi, par récurrence, que si K est un corps de caractéristique p, alors Φ n,K (X)
s’obtient à partir de Φ n,Q par réduction des coefficients modulo p.
Exemple XV.3.1. Appliquons le procédé de récurrence pour calculer Φ 12 (X). Les
diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Donc
X
12
− 1 = Φ 12 (X)Φ 6 (X)Φ 4 (X)Φ 3 (X)Φ 2 (X)Φ 1 (X).
On a X 12 − 1 = (X 6 − 1)(X 6 + 1). Mais, puisque
X
6
− 1 = Φ 6 (X)Φ 3 (X)Φ 2 (X)Φ 1 (X),
alors
X
6 + 1 = Φ 12 (X)Φ 4 (X).
Mais
X
4
− 1 = Φ 4 (X)Φ 2 (X)Φ 1 (X),
et comme Φ 1 (X) = X − 1, Φ 2 (X) = X + 1, on a Φ 4 (X) = X 2 + 1, d’où
Φ 12 (X) = X
4
− X
2 + 1.
Dans un corps de caractéristique 5 (par exemple Z/5Z), on a
X
4
− X
2 + 1 = (X
2
− 2X − 1)(X
2 + 2X − 1).
Ceci prouve, d’après la remarque (XV.3.1.a), que dans le cas n = 12, p = 5, le
corps des racines n-ième de l’unité sur K est une extension galoisienne dont le
groupe de Galois est un sous-groupe strict de U(Z/nZ).
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primitive de l’unité est racine n-ième de l’unité si d divise n. On a donc
X
n
− 1 =
d|n
Φ d (X)
ou encore
Φ n (X) =
X n − 1
d
Par conséquent, on peut construire Φ n (X) dès qu’on connaît Φ d (X) pour les
diviseurs d de n. Ceci permet de dégager un procédé de construction par récurrence
des polynômes cyclotomiques.
En particulier, comme Φ 1 (X) = X − 1, si n est un nombre premier, on a
X n − 1 = (X − 1)Φ n (X), d’où Φ n (X) = X n−1 + . . . + X + 1.
Remarque XV.3.2. La méthode de calcul de Φ n (X) par récurrence indiquée cidessus, pour K = Q, prouve que Φ n (X) ∈ Z[X] et que les coefficients sont déterminés par la même formule de récurrence quel que soit le corps K. On démontre
ainsi, par récurrence, que si K est un corps de caractéristique p, alors Φ n,K (X)
s’obtient à partir de Φ n,Q par réduction des coefficients modulo p.
Exemple XV.3.1. Appliquons le procédé de récurrence pour calculer Φ 12 (X). Les
diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Donc
X
12
− 1 = Φ 12 (X)Φ 6 (X)Φ 4 (X)Φ 3 (X)Φ 2 (X)Φ 1 (X).
On a X 12 − 1 = (X 6 − 1)(X 6 + 1). Mais, puisque
X
6
− 1 = Φ 6 (X)Φ 3 (X)Φ 2 (X)Φ 1 (X),
alors
X
6 + 1 = Φ 12 (X)Φ 4 (X).
Mais
X
4
− 1 = Φ 4 (X)Φ 2 (X)Φ 1 (X),
et comme Φ 1 (X) = X − 1, Φ 2 (X) = X + 1, on a Φ 4 (X) = X 2 + 1, d’où
Φ 12 (X) = X
4
− X
2 + 1.
Dans un corps de caractéristique 5 (par exemple Z/5Z), on a
X
4
− X
2 + 1 = (X
2
− 2X − 1)(X
2 + 2X − 1).
Ceci prouve, d’après la remarque (XV.3.1.a), que dans le cas n = 12, p = 5, le
corps des racines n-ième de l’unité sur K est une extension galoisienne dont le
groupe de Galois est un sous-groupe strict de U(Z/nZ).
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