XV.3. Polynômes cyclotomiques
éléments de Gal(L/K) définis par s(α) = α, t(α) = ηα, avec n = η n = 1 : alors,
s ◦ t(α) = = ηηα = t ◦ s(α), d’où Gal(L/K) est abélien.
Remarque XV.2.3. On trouvera une version plus précise de ce théorème au théorème XV.5.2.
Exercice XV.2. Soit p = 2 un nombre premier. Montrer que le corps Q(U p ) a un
unique sous-corps E tel que E/Q soit une extension quadratique. Montrer que si
p ≡ 1 (mod 4), alors E ⊂ R, et que si p ≡ 3 (mod 4), alors E ⊂ R. (Indication :
notant ζ une racine p-ième primitive, f (x) = x p − 1 et d =
1i
D(f ) = (−1)
p(p−1)
2
f (ζ i ). En déduire que E = Q(
(−1)
p−1
2 p).)
XV.3. Polynômes cyclotomiques
Soient K un corps, P son sous-corps premier, n un entier non divisible par la
caractéristique p de K. On sait qu’il y a, dans P , ϕ(n) racines n-ième primitives de
l’unité, ζ 1 , . . . , ζ ϕ(n) . On considère le polynôme, appelé polynôme cyclotomique
d’indice n,
Φ n (X) =
ϕ(n)
i=1
(X − ζ i ).
Notons G 0 le groupe de Galois de l’extension K(ζ)/K, où ζ est l’une des ζ i . Le
polynôme Φ n (X) est invariant sous l’action de G 0 , par conséquent Φ n (X) ∈ K[X].
Remarque XV.3.1.
a) Pour que Φ n (X) soit irréductible, il faut et il suffit que l’ordre de G 0 soit
égal à ϕ(n). En effet, si Φ n (X) est irréductible, alors [K(ζ) : K] = ϕ(n), d’où
|G 0 | = ϕ(n). Réciproquement, si |G 0 | = ϕ(n), comme K(ζ)/K est galoisienne,
alors [K(ζ) : K] = ϕ(n) = deg(Φ n ) ; comme Φ n (ζ) = 0, M ζ (X) divise Φ n (X)
et, puisque deg(M ζ (X)) = deg(Φ n (X)) et que Φ n (X) est unitaire, Φ n (X) est
irréductible.
b) On déduit de ce qui précède que Φ n (X) est irréductible sur Q et égal
à M ζ (X).
Soit x une racine n-ième de l’unité. Si x est d’ordre d, alors d divise n et x
est une racine d-ième primitive de l’unité. Réciproquement toute racine d-ième
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éléments de Gal(L/K) définis par s(α) = α, t(α) = ηα, avec n = η n = 1 : alors,
s ◦ t(α) = = ηηα = t ◦ s(α), d’où Gal(L/K) est abélien.
Remarque XV.2.3. On trouvera une version plus précise de ce théorème au théorème XV.5.2.
Exercice XV.2. Soit p = 2 un nombre premier. Montrer que le corps Q(U p ) a un
unique sous-corps E tel que E/Q soit une extension quadratique. Montrer que si
p ≡ 1 (mod 4), alors E ⊂ R, et que si p ≡ 3 (mod 4), alors E ⊂ R. (Indication :
notant ζ une racine p-ième primitive, f (x) = x p − 1 et d =
1i
D(f ) = (−1)
p(p−1)
2
f (ζ i ). En déduire que E = Q(
(−1)
p−1
2 p).)
XV.3. Polynômes cyclotomiques
Soient K un corps, P son sous-corps premier, n un entier non divisible par la
caractéristique p de K. On sait qu’il y a, dans P , ϕ(n) racines n-ième primitives de
l’unité, ζ 1 , . . . , ζ ϕ(n) . On considère le polynôme, appelé polynôme cyclotomique
d’indice n,
Φ n (X) =
ϕ(n)
i=1
(X − ζ i ).
Notons G 0 le groupe de Galois de l’extension K(ζ)/K, où ζ est l’une des ζ i . Le
polynôme Φ n (X) est invariant sous l’action de G 0 , par conséquent Φ n (X) ∈ K[X].
Remarque XV.3.1.
a) Pour que Φ n (X) soit irréductible, il faut et il suffit que l’ordre de G 0 soit
égal à ϕ(n). En effet, si Φ n (X) est irréductible, alors [K(ζ) : K] = ϕ(n), d’où
|G 0 | = ϕ(n). Réciproquement, si |G 0 | = ϕ(n), comme K(ζ)/K est galoisienne,
alors [K(ζ) : K] = ϕ(n) = deg(Φ n ) ; comme Φ n (ζ) = 0, M ζ (X) divise Φ n (X)
et, puisque deg(M ζ (X)) = deg(Φ n (X)) et que Φ n (X) est unitaire, Φ n (X) est
irréductible.
b) On déduit de ce qui précède que Φ n (X) est irréductible sur Q et égal
à M ζ (X).
Soit x une racine n-ième de l’unité. Si x est d’ordre d, alors d divise n et x
est une racine d-ième primitive de l’unité. Réciproquement toute racine d-ième
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