Chapitre XV. Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
que q représente un élément inversible de l’anneau Z/nZ. Considérons l’application χ : Gal(K(ζ)/K) −→ U(Z/nZ) ainsi définie, où U(Z/nZ) est le groupe
multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ. Si t = s est un élément
de Gal(K(ζ)/K), avec t(ζ) = ζ r , on a χ(st) = χ(s)χ(t), χ est un morphisme
de groupes. Deux éléments s et t de Gal(K(ζ)/K) sont égaux si et seulement si
s(ζ) = t(ζ). On en déduit que le morphisme χ est injectif, d’où le résultat.
(ii). Pour montrer le résultat, il suffit de montrer que si K = Q, le morphisme
χ ci-dessus est surjectif. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout nombre
premier p, 1 p n, ne divisant pas n, ζ p est une racine du polynôme minimal de
ζ sur Q, M ζ (X). Ce polynôme divise X n −1, i.e. X n −1 = M ζ (X)f (X) dans Q[X].
Si ζ p n’est pas racine de M ζ (X), alors ζ p est racine de f (X), donc ζ est racine
du polynôme f (X p ). Par conséquent, M ζ (X) divise f (X p ), f (X p ) = M ζ (X)g(X).
Puisque M ζ (X) et f (X) ont un coefficient dominant égal à 1 et divisent X n − 1,
d’après le lemme de Gauss (cf. chapitre VIII), M ζ (X) et f (X) sont à coefficients
dans Z. Il en est donc de même pour g(X). Or, p étant un nombre premier,
on sait que pour tout nombre entier u, on a : u p ≡ u mod(p). On en déduit
que f (X p ) ≡ f (X) p mod(p), donc que f (X) p ≡ M ζ (X)g(X) mod(p). Si on note
f (X) et M ζ (X) les polynômes de (Z/pZ)[X] obtenus à partir de f (X) et M ζ (X)
en considérant la réduction modulo p sur les coefficients, on déduit de ce qui
précède que M ζ (X) et f (X) ont un facteur commun, donc que X n − 1 a une
racine multiple, ce qui est en contradiction avec la remarque (XV.1.1.c). Donc
[Q(ζ) : Q] = |Gal(Q(ζ)/Q)| = |U(Z/nZ)| = ϕ(n).
Remarque XV.2.2. Dans le cas de la caractéristique strictement positive,
Gal(K(ζ)/K) peut être isomorphe à un sous-groupe strict de U(Z/nZ)
(cf. exemple XV.3.1 ci-dessous).
On peut généraliser l’étude précédente au cas du polynôme X n − a, a ∈ K.
Le cas général étant assez délicat (cf. TR.XV.C), nous allons nous placer sous des
hypothèses restrictives, mais qui nous suffiront dans la suite.
Proposition XV.2.1. Soient K un corps de caractéristique nulle dans lequel le polynôme X n − 1 est scindé, a un élément de K, L un corps de décomposition de
X n − a sur K. Le groupe de Galois de L/K est abélien.
Démonstration. Soit α une racine de X n − a. Si est une racine n-ième de l’unité,
il est clair que α est une racine de X n − a. On décrit ainsi toutes les racines de
X n − a à partir de α en la multipliant par les racines n-ième de l’unité. Puisque
les racines n-ième de l’unité sont dans K, on en déduit que L = K(α). Les
éléments de Gal(L/K) sont donc déterminés par les images de α. Soient s et t les
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que q représente un élément inversible de l’anneau Z/nZ. Considérons l’application χ : Gal(K(ζ)/K) −→ U(Z/nZ) ainsi définie, où U(Z/nZ) est le groupe
multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ. Si t = s est un élément
de Gal(K(ζ)/K), avec t(ζ) = ζ r , on a χ(st) = χ(s)χ(t), χ est un morphisme
de groupes. Deux éléments s et t de Gal(K(ζ)/K) sont égaux si et seulement si
s(ζ) = t(ζ). On en déduit que le morphisme χ est injectif, d’où le résultat.
(ii). Pour montrer le résultat, il suffit de montrer que si K = Q, le morphisme
χ ci-dessus est surjectif. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout nombre
premier p, 1 p n, ne divisant pas n, ζ p est une racine du polynôme minimal de
ζ sur Q, M ζ (X). Ce polynôme divise X n −1, i.e. X n −1 = M ζ (X)f (X) dans Q[X].
Si ζ p n’est pas racine de M ζ (X), alors ζ p est racine de f (X), donc ζ est racine
du polynôme f (X p ). Par conséquent, M ζ (X) divise f (X p ), f (X p ) = M ζ (X)g(X).
Puisque M ζ (X) et f (X) ont un coefficient dominant égal à 1 et divisent X n − 1,
d’après le lemme de Gauss (cf. chapitre VIII), M ζ (X) et f (X) sont à coefficients
dans Z. Il en est donc de même pour g(X). Or, p étant un nombre premier,
on sait que pour tout nombre entier u, on a : u p ≡ u mod(p). On en déduit
que f (X p ) ≡ f (X) p mod(p), donc que f (X) p ≡ M ζ (X)g(X) mod(p). Si on note
f (X) et M ζ (X) les polynômes de (Z/pZ)[X] obtenus à partir de f (X) et M ζ (X)
en considérant la réduction modulo p sur les coefficients, on déduit de ce qui
précède que M ζ (X) et f (X) ont un facteur commun, donc que X n − 1 a une
racine multiple, ce qui est en contradiction avec la remarque (XV.1.1.c). Donc
[Q(ζ) : Q] = |Gal(Q(ζ)/Q)| = |U(Z/nZ)| = ϕ(n).
Remarque XV.2.2. Dans le cas de la caractéristique strictement positive,
Gal(K(ζ)/K) peut être isomorphe à un sous-groupe strict de U(Z/nZ)
(cf. exemple XV.3.1 ci-dessous).
On peut généraliser l’étude précédente au cas du polynôme X n − a, a ∈ K.
Le cas général étant assez délicat (cf. TR.XV.C), nous allons nous placer sous des
hypothèses restrictives, mais qui nous suffiront dans la suite.
Proposition XV.2.1. Soient K un corps de caractéristique nulle dans lequel le polynôme X n − 1 est scindé, a un élément de K, L un corps de décomposition de
X n − a sur K. Le groupe de Galois de L/K est abélien.
Démonstration. Soit α une racine de X n − a. Si est une racine n-ième de l’unité,
il est clair que α est une racine de X n − a. On décrit ainsi toutes les racines de
X n − a à partir de α en la multipliant par les racines n-ième de l’unité. Puisque
les racines n-ième de l’unité sont dans K, on en déduit que L = K(α). Les
éléments de Gal(L/K) sont donc déterminés par les images de α. Soient s et t les
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