XV.2. Corps des racines n-ième de l’unité
2. Soient m et n des entiers premiers entre eux, ζ une racine primitive m-ième
de l’unité, β une racine primitive n-ième de l’unité (ζ et β dans C). Montrer que
Q(ζ) ∩ Q(β) = Q. (Indication : on pourra démontrer que le plus petit sous-corps
de C contenant ζ et β est Q(ζ, β) = Q(ζβ), engendré par une racine mn-ième primitive de l’unité. En déduire le degré de l’extension Q(ζ, β)/Q(β) et appliquer 1.)
XV.2. Corps des racines n-ième de l’unité
Définition XV.2.1. Soit K un corps. On appelle corps des racines n-ième de
l’unité sur K un corps de décomposition sur K du polynôme X n − 1.
Soit ζ une racine n-ième primitive de l’unité. Alors U n (K) = ζ k , 0 k n−1
et les racines primitives sont celles pour lesquelles l’exposant k est premier avec n.
Le corps des racines n-ième de l’unité sur K est K(ζ).
D’après ce qui précède, si K est un corps dont la caractéristique est nulle ou
est un nombre premier ne divisant pas n, l’extension K(ζ)/K est galoisienne.
Définition XV.2.2. Une extension E/K est dite abélienne si elle est galoisienne
de groupe de Galois abélien.
Remarque XV.2.1. D’après les théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois, si
E/K est une extension abélienne finie, il en est de même pour les extensions E/L
et L/K, pour tout corps intermédiaire L.
Théorème XV.2.1. Soient K un corps, n un entier positif, ζ une racine n-ième
primitive de l’unité dans K.
(i) Si K est un corps de caractéristique p > 0, p ne divisant pas n, l’extension
K(ζ)/K est abélienne finie. Son groupe de Galois est isomorphe à un sous-groupe
du groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
(ii) Si K = Q, on a [Q(ζ) : Q] = ϕ(n) et le groupe de Galois de l’extension
Q(ζ)/Q est isomorphe au groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau
Z/nZ.
Démonstration. (i). Pour tout s ∈ Gal(K(ζ)/K), s(ζ) doit être une racine n-ième
primitive de l’unité, car ζ m = 1 est équivalent à s(ζ) m = 1. Par conséquent,
s(ζ) = ζ q , où q est un nombre premier avec n et compris entre 1 et n, c’est-à-dire
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2. Soient m et n des entiers premiers entre eux, ζ une racine primitive m-ième
de l’unité, β une racine primitive n-ième de l’unité (ζ et β dans C). Montrer que
Q(ζ) ∩ Q(β) = Q. (Indication : on pourra démontrer que le plus petit sous-corps
de C contenant ζ et β est Q(ζ, β) = Q(ζβ), engendré par une racine mn-ième primitive de l’unité. En déduire le degré de l’extension Q(ζ, β)/Q(β) et appliquer 1.)
XV.2. Corps des racines n-ième de l’unité
Définition XV.2.1. Soit K un corps. On appelle corps des racines n-ième de
l’unité sur K un corps de décomposition sur K du polynôme X n − 1.
Soit ζ une racine n-ième primitive de l’unité. Alors U n (K) = ζ k , 0 k n−1
et les racines primitives sont celles pour lesquelles l’exposant k est premier avec n.
Le corps des racines n-ième de l’unité sur K est K(ζ).
D’après ce qui précède, si K est un corps dont la caractéristique est nulle ou
est un nombre premier ne divisant pas n, l’extension K(ζ)/K est galoisienne.
Définition XV.2.2. Une extension E/K est dite abélienne si elle est galoisienne
de groupe de Galois abélien.
Remarque XV.2.1. D’après les théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois, si
E/K est une extension abélienne finie, il en est de même pour les extensions E/L
et L/K, pour tout corps intermédiaire L.
Théorème XV.2.1. Soient K un corps, n un entier positif, ζ une racine n-ième
primitive de l’unité dans K.
(i) Si K est un corps de caractéristique p > 0, p ne divisant pas n, l’extension
K(ζ)/K est abélienne finie. Son groupe de Galois est isomorphe à un sous-groupe
du groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
(ii) Si K = Q, on a [Q(ζ) : Q] = ϕ(n) et le groupe de Galois de l’extension
Q(ζ)/Q est isomorphe au groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau
Z/nZ.
Démonstration. (i). Pour tout s ∈ Gal(K(ζ)/K), s(ζ) doit être une racine n-ième
primitive de l’unité, car ζ m = 1 est équivalent à s(ζ) m = 1. Par conséquent,
s(ζ) = ζ q , où q est un nombre premier avec n et compris entre 1 et n, c’est-à-dire
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