Chapitre XV. Racines de l’unité – Corps finis – Extensions cycliques
Lemme XV.1.1. Si K est un corps de caractéristique p > 0 et si x est une racine
de l’unité dans K, son ordre n’est pas divisible par p.
Démonstration. Soit n l’ordre de x et supposons que n = pm. Alors, x pm = 1
entraîne que (x m − 1) p = x pm − 1 = 0 (cf. proposition IX.1.3), d’où x m = 1 avec
m < n. Contradiction.
Corollaire XV.1.1. Si K est un corps de caractéristique p > 0, alors, pour tout
entier m > 0, il n’existe pas dans K de racine p m -ième de l’unité autre que 1.
Remarques XV.1.1.
a) C’est également le cas, si K = Q, pour les racines n-ième de l’unité, avec n
impair.
b) Une racine n-ième de l’unité dans K étant racine du polynôme X n − 1 = 0,
est algébrique sur le sous-corps premier P de K. On peut donc, ce que nous ferons
dans la suite, se placer dans une clôture algébrique P de P .
c) Si K est un corps de caractéristique p > 0 et si n est un entier non divisible
par p, toute racine du polynôme X n − 1 est simple, car le polynôme dérivé nX n−1
n’admet que zéro comme racine, qui n’est pas racine de X n − 1. Il existe donc
exactement n racines n-ième de l’unité dans K. Autrement dit, le polynôme X n −1
est séparable sur K. On en déduit le théorème suivant :
Théorème XV.1.1. Soient K un corps de caractéristique p > 0 et n un entier premier avec p. Le groupe U n (K) des racines n-ième de l’unité (dans K) est un
groupe cyclique d’ordre n.
Démonstration. Ce qui précède montre que U n (K) est un groupe fini d’ordre n
dans K
∗ . On sait d’après (TR.IX.A) qu’un tel groupe est cyclique.
Définition XV.1.2. Un générateur du groupe U n (K) est appelé racine n-ième
primitive de l’unité.
Remarque XV.1.2. Si K est un corps de caractéristique p > 0 ne divisant pas n, le
nombre des racines n-ième primitives de l’unité dans K est égal à ϕ(n), où ϕ est
l’indicateur d’Euler (cf. TR.I.B).
Exercice XV.1.
1. Soient k ⊂ M une extension finie, K et L deux corps intermédiaires et KL
le sous-corps de M engendré par K et L. Démontrer que [KL : L] [K : k].
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Lemme XV.1.1. Si K est un corps de caractéristique p > 0 et si x est une racine
de l’unité dans K, son ordre n’est pas divisible par p.
Démonstration. Soit n l’ordre de x et supposons que n = pm. Alors, x pm = 1
entraîne que (x m − 1) p = x pm − 1 = 0 (cf. proposition IX.1.3), d’où x m = 1 avec
m < n. Contradiction.
Corollaire XV.1.1. Si K est un corps de caractéristique p > 0, alors, pour tout
entier m > 0, il n’existe pas dans K de racine p m -ième de l’unité autre que 1.
Remarques XV.1.1.
a) C’est également le cas, si K = Q, pour les racines n-ième de l’unité, avec n
impair.
b) Une racine n-ième de l’unité dans K étant racine du polynôme X n − 1 = 0,
est algébrique sur le sous-corps premier P de K. On peut donc, ce que nous ferons
dans la suite, se placer dans une clôture algébrique P de P .
c) Si K est un corps de caractéristique p > 0 et si n est un entier non divisible
par p, toute racine du polynôme X n − 1 est simple, car le polynôme dérivé nX n−1
n’admet que zéro comme racine, qui n’est pas racine de X n − 1. Il existe donc
exactement n racines n-ième de l’unité dans K. Autrement dit, le polynôme X n −1
est séparable sur K. On en déduit le théorème suivant :
Théorème XV.1.1. Soient K un corps de caractéristique p > 0 et n un entier premier avec p. Le groupe U n (K) des racines n-ième de l’unité (dans K) est un
groupe cyclique d’ordre n.
Démonstration. Ce qui précède montre que U n (K) est un groupe fini d’ordre n
dans K
∗ . On sait d’après (TR.IX.A) qu’un tel groupe est cyclique.
Définition XV.1.2. Un générateur du groupe U n (K) est appelé racine n-ième
primitive de l’unité.
Remarque XV.1.2. Si K est un corps de caractéristique p > 0 ne divisant pas n, le
nombre des racines n-ième primitives de l’unité dans K est égal à ϕ(n), où ϕ est
l’indicateur d’Euler (cf. TR.I.B).
Exercice XV.1.
1. Soient k ⊂ M une extension finie, K et L deux corps intermédiaires et KL
le sous-corps de M engendré par K et L. Démontrer que [KL : L] [K : k].
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