XV
RACINES DE L’UNITÉ
CORPS FINIS
EXTENSIONS CYCLIQUES
Le but de ce chapitre est d’étudier quelques exemples d’extensions galoisiennes
qui sont d’une importance capitale en arithmétique. Outre une description du
groupe de Galois du corps des racines n-ième de l’unité, on démontrera que les
corps finis sont nécessairement commutatifs et que leurs groupes de Galois sont
engendrés par le morphisme de Frobenius. De plus, par l’étude des extensions
cycliques, on abordera la théorie générale des extensions de Kummer.
XV.1. Racines de l’unité
Définition XV.1.1. On dit qu’un élément x d’un corps K est une racine n-ième
de l’unité s’il existe un entier n > 0 tel que x n = 1. On dit que x est une
racine de l’unité s’il existe un entier n tel que x soit une racine n-ième de
l’unité.
Les racines de l’unité sont des éléments d’ordre fini du groupe multiplicatif
K ∗ . Elles forment un sous-groupe U (K) de K ∗ et les racines n-ième de l’unité
forment un sous-groupe U n (K) de U (K). Soit x un élément de K ∗ : on considère
le morphisme de groupes ϕ : Z −→ K ∗ défini par ϕ(a) = x a . Si x est un élément
de U (K), l’ensemble des m ∈ Z tels que x m = 1 est le noyau de ϕ, c’est donc un
sous-groupe nZ de Z, où n est l’ordre de x dans K ∗ .