XV.5. Extensions cycliques
d’ordre n. Par conséquent G est un groupe cyclique d’ordre d divisant n. Si τ est
un générateur de G, alors ε τ est une racine primitive d-ième de l’unité. D’où
τ (α
d ) = τ (α)
d = (ε τ α)
d = α
d
et α d est laissé fixe par G. Par conséquent α d ∈ K.
Dans le théorème précédent, nous avons supposé que la caractéristique de K
était première au degré de l’extension E/K. Nous allons maintenant étudier le
cas où la caractéristique de K est égale au degré de l’extension.
Théorème XV.5.3. Soit K un corps de caractéristique p > 0.
(i) Soit E/K une extension cyclique de degré p. Il existe α ∈ E tel que
E = K(α) et α est racine du polynôme X p − X − a avec a ∈ K.
(ii) Réciproquement, soient a ∈ K et f (X) = X p − X − a. Alors, ou bien
le polynôme f (X) a une racine dans K et alors toutes ses racines sont dans K,
ou bien le polynôme f (X) est irréductible sur K et si α est une racine de f (X),
K(α)/K est une extension cyclique de degré p.
Démonstration. (i). Soit E/K une extension cyclique de degré p et soit τ un générateur de son groupe de Galois G. On a T r E/K (−1) = p(−1) = 0, donc, d’après la
version additive du théorème « Hilbert 90 », il existe α ∈ E tel que τ (α) − α = 1,
i.e. τ (α) = α + 1. On en déduit que pour tout i, 1 i p, τ i (α) = α + i. Donc
α a p conjugués distincts, ce qui entraîne [K(α) : K] p. D’où E = K(α). On a
τ (α
p
− α) = τ (α)
p
− τ (α) = (α + 1)
p
− (α + 1) = α
p
− α.
Autrement dit, α p − α est invariant par τ , donc par G, i.e. (α p − α) ∈ K. En
posant a = α p − α, il est clair que α est racine du polynôme f (X) = X p − X − a.
(ii). Soient a ∈ K et f (X) = X p − X − a. Si α est une racine de f (X), alors
α + i, 1 i p, sont des racines de f (X), qui a donc p racines distinctes, et si
l’une est dans K, elles sont toutes dans K.
Supposons que f (X) n’a aucune racine dans K et supposons que
f (X) = g(X)h(X), avec g(X) ∈ K[X] et h(X) ∈ K[X], 1 d = deg(g) < p.
Puisque f (X) =
p
i=1 (X − α − i), le coefficient de X d−1 est la somme de d termes
−(α+i). Ce coefficient est égal à −dα+j, pour un certain entier j. Comme d ∈ K
est non nul, on a α ∈ K, d’où une contradiction et f (X) est irréductible. Toutes
les racines de f (X) sont simples et dans K(α), donc K(α)/K est galoisienne.
Puisque α + 1 est aussi une racine, il existe un automorphisme τ de K(α) tel que
τ (α) = α + 1. On en déduit que, pour 1 i p, τ i (α) = α + i, qui sont distincts,
donc le groupe de Galois de K(α)/K est cyclique, engendré par τ .
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d’ordre n. Par conséquent G est un groupe cyclique d’ordre d divisant n. Si τ est
un générateur de G, alors ε τ est une racine primitive d-ième de l’unité. D’où
τ (α
d ) = τ (α)
d = (ε τ α)
d = α
d
et α d est laissé fixe par G. Par conséquent α d ∈ K.
Dans le théorème précédent, nous avons supposé que la caractéristique de K
était première au degré de l’extension E/K. Nous allons maintenant étudier le
cas où la caractéristique de K est égale au degré de l’extension.
Théorème XV.5.3. Soit K un corps de caractéristique p > 0.
(i) Soit E/K une extension cyclique de degré p. Il existe α ∈ E tel que
E = K(α) et α est racine du polynôme X p − X − a avec a ∈ K.
(ii) Réciproquement, soient a ∈ K et f (X) = X p − X − a. Alors, ou bien
le polynôme f (X) a une racine dans K et alors toutes ses racines sont dans K,
ou bien le polynôme f (X) est irréductible sur K et si α est une racine de f (X),
K(α)/K est une extension cyclique de degré p.
Démonstration. (i). Soit E/K une extension cyclique de degré p et soit τ un générateur de son groupe de Galois G. On a T r E/K (−1) = p(−1) = 0, donc, d’après la
version additive du théorème « Hilbert 90 », il existe α ∈ E tel que τ (α) − α = 1,
i.e. τ (α) = α + 1. On en déduit que pour tout i, 1 i p, τ i (α) = α + i. Donc
α a p conjugués distincts, ce qui entraîne [K(α) : K] p. D’où E = K(α). On a
τ (α
p
− α) = τ (α)
p
− τ (α) = (α + 1)
p
− (α + 1) = α
p
− α.
Autrement dit, α p − α est invariant par τ , donc par G, i.e. (α p − α) ∈ K. En
posant a = α p − α, il est clair que α est racine du polynôme f (X) = X p − X − a.
(ii). Soient a ∈ K et f (X) = X p − X − a. Si α est une racine de f (X), alors
α + i, 1 i p, sont des racines de f (X), qui a donc p racines distinctes, et si
l’une est dans K, elles sont toutes dans K.
Supposons que f (X) n’a aucune racine dans K et supposons que
f (X) = g(X)h(X), avec g(X) ∈ K[X] et h(X) ∈ K[X], 1 d = deg(g) < p.
Puisque f (X) =
p
i=1 (X − α − i), le coefficient de X d−1 est la somme de d termes
−(α+i). Ce coefficient est égal à −dα+j, pour un certain entier j. Comme d ∈ K
est non nul, on a α ∈ K, d’où une contradiction et f (X) est irréductible. Toutes
les racines de f (X) sont simples et dans K(α), donc K(α)/K est galoisienne.
Puisque α + 1 est aussi une racine, il existe un automorphisme τ de K(α) tel que
τ (α) = α + 1. On en déduit que, pour 1 i p, τ i (α) = α + i, qui sont distincts,
donc le groupe de Galois de K(α)/K est cyclique, engendré par τ .
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