Algèbre T1
B j , puis calculer P . En déduire finalement Q(a) ∩ Q(b). On en donnera un élément primitif, dont on calculera également le polynôme minimal. En déduire
que l’intersection Q(a) ∩ Q(b) est, en fait, Q(
√
6).
9. On veut automatiser tout cela. Écrire une procédure interP:=proc(P1,a,Q)
renvoyant, en fonction de P 1 , a et μ a = Q, un élément primitif d de Q(a)∩Q(b)
en tant que polynôme en c, le polynôme minimal de c et le polynôme minimal
de d. Tester sur l’exemple de la question précédente.
Modifier la procédure interP en une procédure interP2:=proc(P1,a,Q) renvoyant d exprimé comme un polynôme en a, ainsi que son polynôme minimal. Tester sur l’exemple précédent. Prendre également μ a = x 3 + x + 1,
μ b = x 3 − x 2 + 4x − 3 et pour P 1 les deux choix possibles. Tester enfin avec des
extensions Q(a) et Q(b) de votre choix, dont les degrés sur Q sont premiers
entre eux (bien entendu, on doit trouver Q).
On dispose maintenant de tous les ingrédients. L’objectif est de trouver tous les
sous-corps maximaux d’un corps de nombres K = Q(a) qui n’est plus forcément
galoisien sur Q. Le polynôme minimal μ a de a se décompose sur K en facteurs
irréductibles qui ne sont plus tous nécessairement de degré un. On associe à chaque
facteur irréductible P i = x − a un sous-corps K i comme suit :
– si P i = x − a i alors K i = K σ i , où σ i désigne le Q-automorphisme de K
qui envoie a sur a i ;
– si, par contre, deg P i 2, on pose K i = K ∩ Q(α i ), pour α i une racine
quelconque de P i dans une extension convenable (cela ne dépend pas du
choix effectué, car les racines sont conjuguées par un Q(a)-automorphisme
qui laisse l’intersection inchangée).
Proposition 2. Les sous-corps maximaux de K sont parmi les corps K i ainsi
construits.
Démonstration. Soient N une clôture galoisienne de K (i.e. un corps de décomposition de μ a ) et L un sous-corps maximal de K. L’extension N/Q est galoisienne et, par la correspondance de Galois, il correspond à L un sous-groupe
G L = Gal(N/L) de G = Gal(N/Q). On considère également G K = Gal(N/K).
On a donc G K ⊂ G L ⊂ G et il n’existe pas de sous-groupe entre G K et G L , car
L est maximal dans K. Par conséquent, le groupe G L est engendré par G K et un
élément quelconque σ que l’on se donne dans G L \ G K .
Afin de traduire cela en théorie des corps, on peut dire aussi que G L est
engendré par G K et σG K σ −1 , si G K = σG K σ −1 , et par G K et σ sinon.
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B j , puis calculer P . En déduire finalement Q(a) ∩ Q(b). On en donnera un élément primitif, dont on calculera également le polynôme minimal. En déduire
que l’intersection Q(a) ∩ Q(b) est, en fait, Q(
√
6).
9. On veut automatiser tout cela. Écrire une procédure interP:=proc(P1,a,Q)
renvoyant, en fonction de P 1 , a et μ a = Q, un élément primitif d de Q(a)∩Q(b)
en tant que polynôme en c, le polynôme minimal de c et le polynôme minimal
de d. Tester sur l’exemple de la question précédente.
Modifier la procédure interP en une procédure interP2:=proc(P1,a,Q) renvoyant d exprimé comme un polynôme en a, ainsi que son polynôme minimal. Tester sur l’exemple précédent. Prendre également μ a = x 3 + x + 1,
μ b = x 3 − x 2 + 4x − 3 et pour P 1 les deux choix possibles. Tester enfin avec des
extensions Q(a) et Q(b) de votre choix, dont les degrés sur Q sont premiers
entre eux (bien entendu, on doit trouver Q).
On dispose maintenant de tous les ingrédients. L’objectif est de trouver tous les
sous-corps maximaux d’un corps de nombres K = Q(a) qui n’est plus forcément
galoisien sur Q. Le polynôme minimal μ a de a se décompose sur K en facteurs
irréductibles qui ne sont plus tous nécessairement de degré un. On associe à chaque
facteur irréductible P i = x − a un sous-corps K i comme suit :
– si P i = x − a i alors K i = K σ i , où σ i désigne le Q-automorphisme de K
qui envoie a sur a i ;
– si, par contre, deg P i 2, on pose K i = K ∩ Q(α i ), pour α i une racine
quelconque de P i dans une extension convenable (cela ne dépend pas du
choix effectué, car les racines sont conjuguées par un Q(a)-automorphisme
qui laisse l’intersection inchangée).
Proposition 2. Les sous-corps maximaux de K sont parmi les corps K i ainsi
construits.
Démonstration. Soient N une clôture galoisienne de K (i.e. un corps de décomposition de μ a ) et L un sous-corps maximal de K. L’extension N/Q est galoisienne et, par la correspondance de Galois, il correspond à L un sous-groupe
G L = Gal(N/L) de G = Gal(N/Q). On considère également G K = Gal(N/K).
On a donc G K ⊂ G L ⊂ G et il n’existe pas de sous-groupe entre G K et G L , car
L est maximal dans K. Par conséquent, le groupe G L est engendré par G K et un
élément quelconque σ que l’on se donne dans G L \ G K .
Afin de traduire cela en théorie des corps, on peut dire aussi que G L est
engendré par G K et σG K σ −1 , si G K = σG K σ −1 , et par G K et σ sinon.
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