Travaux pratiques
Démonstration. Prenant N une clôture galoisienne de Q(c), il s’agit de prouver que
P est invariant sous Gal(N/Q(b)) (puisque P appartient à Q(a)[x] par définition).
Considérons σ A 1 , pour σ ∈ Gal(N/Q(b)) donné. Puisque A 1 divise μ c , il possède
un facteur commun non trivial avec l’un B j 0 des B j . Il en est donc de même de
σ A 1 , avec σ B j 0 = B j 0 . On voit donc que A 1 et σ A 1 sont reliés par une arête.
Si maintenant A i est dans la composante connexe de A 1 , alors σ A i est dans
la composante connexe de σ A 1 , donc de A 1 . Cela démontre que σ permute les
éléments de C, d’où σ P = P .
Soit L le corps engendré sur Q par les coefficients de P . On va démontrer que
si σ ∈ Gal(N/Q) vérifie σ P = P (i.e. si σ appartient à Gal(N/L)), alors σ est
l’identité sur Q(a) ∩ Q(b). Il en résultera l’inclusion Q(a) ∩ Q(b) ⊂ N Gal(N/L) = L
qui termine de démontrer la proposition. Comme c est racine de A 1 , donc de P ,
on voit que σ(c) est racine de σ P = P , donc de l’un A i 0 des facteurs de P . On va
démontrer qu’il existe τ ∈ Gal(N/Q(a) ∩ Q(b)) tel que τ (c) = σ(c). Ainsi τ et σ
coïncident sur Q(c), ce qui démontre l’assertion.
Comme A 1 et A i 0 sont dans la même composante connexe, il existe un circuit
dans le graphe permettant de passer de A 1 = X 1 à A i 0 = X t . Il existe une racine
α 2 ∈ N commune à A 1 et X 2 , donc τ 1 ∈ Gal(N/Q(a)) tel que τ 1 (c) = α 2 . De
même, on trouve α 3 ∈ N qui annule X 2 et X 3 , donc τ 2 appartenant à Gal(N/Q(a))
ou Gal(N/Q(b)) tel que τ 2 (α 2 ) = α 3 , selon que X 2 est un A i ou un B j . On continue
ainsi jusqu’à τ t−1 tel que τ t−1 (α t−1 ) = α t , avec α t racine de X t = A i 0 . Enfin, il
existe τ t ∈ Gal(N/Q(a)) tel que τ t (α t ) = σ(c). On prend pour τ la composée
des τ k .
☞ Quelques remarques concernant la manipulation des graphes sous Maple :
Un graphe est défini par une commande
graphe:=network[graph](sommet,aretes);
où les n sommets sont, par exemple, les entiers de 1 à n et les arêtes sont de la
forme {i k , j k }, c’est-à-dire
sommets:={$1..n} et aretes:={{i1,j1},...,{ir,jr}}.
La composante connexe de 1 s’obtient alors en invoquant
networks[components](graphe,root=1).
Un algorithme de parcours du graphe est en effet implémenté dans Maple. La
théorie des graphes n’étant pas le propos de cet ouvrage, il sera passé sous silence.
8. Commençons par traiter un exemple. On prend μ a = x 4 − 10x 2 + 1,
μ b = x 4 − 4x 2 − 2 et P 1 = μ b,Q(a) l’un des facteurs irréductibles de la décomposition de μ b sur Q(a) (au choix). Déterminer un élément primitif c et exprimer
a et b comme des polynômes a(c) et b(c) (toutes les procédures ont été écrites
au TP.XII !). En déduire les A i et B j en tant qu’éléments de Q(c)[x]. Définir le
graphe où les r premiers sommets correspondent aux A i et les s suivants aux
363
Démonstration. Prenant N une clôture galoisienne de Q(c), il s’agit de prouver que
P est invariant sous Gal(N/Q(b)) (puisque P appartient à Q(a)[x] par définition).
Considérons σ A 1 , pour σ ∈ Gal(N/Q(b)) donné. Puisque A 1 divise μ c , il possède
un facteur commun non trivial avec l’un B j 0 des B j . Il en est donc de même de
σ A 1 , avec σ B j 0 = B j 0 . On voit donc que A 1 et σ A 1 sont reliés par une arête.
Si maintenant A i est dans la composante connexe de A 1 , alors σ A i est dans
la composante connexe de σ A 1 , donc de A 1 . Cela démontre que σ permute les
éléments de C, d’où σ P = P .
Soit L le corps engendré sur Q par les coefficients de P . On va démontrer que
si σ ∈ Gal(N/Q) vérifie σ P = P (i.e. si σ appartient à Gal(N/L)), alors σ est
l’identité sur Q(a) ∩ Q(b). Il en résultera l’inclusion Q(a) ∩ Q(b) ⊂ N Gal(N/L) = L
qui termine de démontrer la proposition. Comme c est racine de A 1 , donc de P ,
on voit que σ(c) est racine de σ P = P , donc de l’un A i 0 des facteurs de P . On va
démontrer qu’il existe τ ∈ Gal(N/Q(a) ∩ Q(b)) tel que τ (c) = σ(c). Ainsi τ et σ
coïncident sur Q(c), ce qui démontre l’assertion.
Comme A 1 et A i 0 sont dans la même composante connexe, il existe un circuit
dans le graphe permettant de passer de A 1 = X 1 à A i 0 = X t . Il existe une racine
α 2 ∈ N commune à A 1 et X 2 , donc τ 1 ∈ Gal(N/Q(a)) tel que τ 1 (c) = α 2 . De
même, on trouve α 3 ∈ N qui annule X 2 et X 3 , donc τ 2 appartenant à Gal(N/Q(a))
ou Gal(N/Q(b)) tel que τ 2 (α 2 ) = α 3 , selon que X 2 est un A i ou un B j . On continue
ainsi jusqu’à τ t−1 tel que τ t−1 (α t−1 ) = α t , avec α t racine de X t = A i 0 . Enfin, il
existe τ t ∈ Gal(N/Q(a)) tel que τ t (α t ) = σ(c). On prend pour τ la composée
des τ k .
☞ Quelques remarques concernant la manipulation des graphes sous Maple :
Un graphe est défini par une commande
graphe:=network[graph](sommet,aretes);
où les n sommets sont, par exemple, les entiers de 1 à n et les arêtes sont de la
forme {i k , j k }, c’est-à-dire
sommets:={$1..n} et aretes:={{i1,j1},...,{ir,jr}}.
La composante connexe de 1 s’obtient alors en invoquant
networks[components](graphe,root=1).
Un algorithme de parcours du graphe est en effet implémenté dans Maple. La
théorie des graphes n’étant pas le propos de cet ouvrage, il sera passé sous silence.
8. Commençons par traiter un exemple. On prend μ a = x 4 − 10x 2 + 1,
μ b = x 4 − 4x 2 − 2 et P 1 = μ b,Q(a) l’un des facteurs irréductibles de la décomposition de μ b sur Q(a) (au choix). Déterminer un élément primitif c et exprimer
a et b comme des polynômes a(c) et b(c) (toutes les procédures ont été écrites
au TP.XII !). En déduire les A i et B j en tant qu’éléments de Q(c)[x]. Définir le
graphe où les r premiers sommets correspondent aux A i et les s suivants aux
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