Algèbre T1
5. Établir la correspondance de Galois pour le polynôme P 4 . On donnera la liste
des corps intermédiaires M et des sous-groupes H de Galois correspondants.
Vérifier que l’on a bien [M : Q] = |G|/|H|.
6. Modifier la procédure invariant en une procédure invariant2:=proc(a,P,F)
renvoyant un élément primitif de L σ . On utilisera la procédure primitif3
écrite au cours du TP.XII, que l’on itère autant de fois que nécessaire. Tester
sur l’exemple de la question précédente.
7. On prend P = P 3 . Déterminer Gal(P ), ses sous-groupes, et identifier ceux qui
sont normaux.
Modifier la procédure gal(P) en une procédure gal2(a,P) qui renvoie une
liste L d’éléments primitifs des sous-corps maximaux ainsi que la liste des
éléments ˜
σ i du groupe de Galois, exprimés comme produits de cycles à supports
disjoints, en prenant soin que le i-ième élément de L corresponde à L σ i .
Tester sur l’exemple. Calculer également le polynôme minimal des éléments
primitifs obtenus. Décrire la correspondance de Galois.
Correspondance de Galois : le cas général
On a besoin de développer, au préalable, une technique de calcul de l’intersection de deux corps de nombres.
Précisément, soient a et b deux nombres algébriques, de polynômes minimaux
μ a et μ b . Il s’agit de calculer l’intersection Q(a)∩ Q(b) dans Q(a, b). Comme on l’a
vu au TP.XII, il faut préciser de quel facteur b est racine dans la décomposition de
μ b en irréductibles dans Q(a)[x]. On le note P 1 et l’on choisit un élément primitif
c = b + λa, λ ∈ Q, de Q(a, b).
Écrivons les décompositions en irréductibles de μ c sur Q(a) et sur Q(b) :
μ c =
r
i=1
A i , A i ∈ Q(a)[x] ; μ c =
s
j=1
B j , B j ∈ Q(b)[x].
Le polynôme P 1 (x − λa) est un polynôme irréductible de Q(a)[x] qui annule c : il
s’agit donc de l’un des facteurs, disons A 1 quitte à renuméroter.
On définit un graphe dont les sommets sont les A i et B j et les arêtes les [X k , X l ]
tels que X k et X l ont un facteur commun non trivial dans Q(c)[x], i.e. tels que
pgcd(X k , X l ) = 1.
Proposition 1. Avec les notations précédentes, soit C l’ensemble des A i qui sont
dans la composante connexe de A 1 . Alors P =
X∈C X est un polynôme à coefficients dans Q(a) ∩ Q(b), dont les coefficients engendrent Q(a) ∩ Q(b) sur Q.
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5. Établir la correspondance de Galois pour le polynôme P 4 . On donnera la liste
des corps intermédiaires M et des sous-groupes H de Galois correspondants.
Vérifier que l’on a bien [M : Q] = |G|/|H|.
6. Modifier la procédure invariant en une procédure invariant2:=proc(a,P,F)
renvoyant un élément primitif de L σ . On utilisera la procédure primitif3
écrite au cours du TP.XII, que l’on itère autant de fois que nécessaire. Tester
sur l’exemple de la question précédente.
7. On prend P = P 3 . Déterminer Gal(P ), ses sous-groupes, et identifier ceux qui
sont normaux.
Modifier la procédure gal(P) en une procédure gal2(a,P) qui renvoie une
liste L d’éléments primitifs des sous-corps maximaux ainsi que la liste des
éléments ˜
σ i du groupe de Galois, exprimés comme produits de cycles à supports
disjoints, en prenant soin que le i-ième élément de L corresponde à L σ i .
Tester sur l’exemple. Calculer également le polynôme minimal des éléments
primitifs obtenus. Décrire la correspondance de Galois.
Correspondance de Galois : le cas général
On a besoin de développer, au préalable, une technique de calcul de l’intersection de deux corps de nombres.
Précisément, soient a et b deux nombres algébriques, de polynômes minimaux
μ a et μ b . Il s’agit de calculer l’intersection Q(a)∩ Q(b) dans Q(a, b). Comme on l’a
vu au TP.XII, il faut préciser de quel facteur b est racine dans la décomposition de
μ b en irréductibles dans Q(a)[x]. On le note P 1 et l’on choisit un élément primitif
c = b + λa, λ ∈ Q, de Q(a, b).
Écrivons les décompositions en irréductibles de μ c sur Q(a) et sur Q(b) :
μ c =
r
i=1
A i , A i ∈ Q(a)[x] ; μ c =
s
j=1
B j , B j ∈ Q(b)[x].
Le polynôme P 1 (x − λa) est un polynôme irréductible de Q(a)[x] qui annule c : il
s’agit donc de l’un des facteurs, disons A 1 quitte à renuméroter.
On définit un graphe dont les sommets sont les A i et B j et les arêtes les [X k , X l ]
tels que X k et X l ont un facteur commun non trivial dans Q(c)[x], i.e. tels que
pgcd(X k , X l ) = 1.
Proposition 1. Avec les notations précédentes, soit C l’ensemble des A i qui sont
dans la composante connexe de A 1 . Alors P =
X∈C X est un polynôme à coefficients dans Q(a) ∩ Q(b), dont les coefficients engendrent Q(a) ∩ Q(b) sur Q.
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