Travaux pratiques
Théorème 1. Soit L/K une extension galoisienne finie de groupe de Galois
G = Gal(L/K). On note K(L/K) l’ensemble des corps intermédiaires M et G(G)
l’ensemble des sous-groupes H de G. Alors les applications
Φ :
K(L/K) → G(G)
L → Gal(L/M )
, Ψ :
G(G) → K(L/K)
H → L H = {x ∈ L, hx = x ∀h ∈ H}
sont des bijections réciproques l’une de l’autre. De plus, M/K est une extension
normale (donc galoisienne) si et seulement si H = Gal(L/M ) est normal (ou
distingué) dans G et alors Gal(M/K) G/H.
Pour obtenir les sous-corps maximaux d’une extension Q(a)/Q, il suffit donc
de regarder les invariants sous les sous-groupes minimaux de Gal(Q(a)/Q), i.e. les
invariants sous un élément, disons σ : a → F (a), et faire varier F (a) au sein des
racines du polynôme minimal de a.
Pour calculer ces invariants sous σ, on cherche les polynômes R =
n−1
i=0 c i x i
(où n désigne le degré de l’extension) tels que σ(R(a)) = R(σ(a)) = R(a) dans
Q(a). Sachant que (1, a, . . . , a n−1 ) forme une base, cela constitue un système à
résoudre en les c i . On écrit la matrice A du système et on le résout sous Maple
avec la commande LinearAlgebra[NullSpace](A).
☞ Quelques commandes Maple utiles : coeff, collect, subs, Matrix(n,f)
(où f:=(i,j)->... définit les coefficients) ; on ordonne par degré croissant une
liste L de polynômes en invoquant sort(L,ordpoly), où
> ordpoly:=proc(f,g)
if degree(f,x)<= degree(g,x) then return(true) else return(false) ;
fi;
end:
4. Soient P ∈ Q[x] un polynôme irréductible et L = Q(a) un corps de rupture. On suppose que L contient une deuxième racine b = F (a). Écrire une
procédure invariant(a,P,F) qui calcule les invariants, sous l’élément σ du
groupe Gal(L/Q) qui envoie a sur b (l’utilisateur a donc défini au préalable
alias(a=RootOf((P))). Ces éléments invariants seront présentés sous la forme
d’une liste LP de polynômes (ordonnés selon le degré), qui, lorsqu’ils sont évalués en a, constituent une base sur Q du sous-corps L σ .
Tester avec P = P 5 . On calculera les sous-corps maximaux en faisant varier
F (a) au sein des racines de P . Conclure qu’il n’existe pas de corps intermédiaire
non trivial. Est-ce étonnant ?
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Théorème 1. Soit L/K une extension galoisienne finie de groupe de Galois
G = Gal(L/K). On note K(L/K) l’ensemble des corps intermédiaires M et G(G)
l’ensemble des sous-groupes H de G. Alors les applications
Φ :
K(L/K) → G(G)
L → Gal(L/M )
, Ψ :
G(G) → K(L/K)
H → L H = {x ∈ L, hx = x ∀h ∈ H}
sont des bijections réciproques l’une de l’autre. De plus, M/K est une extension
normale (donc galoisienne) si et seulement si H = Gal(L/M ) est normal (ou
distingué) dans G et alors Gal(M/K) G/H.
Pour obtenir les sous-corps maximaux d’une extension Q(a)/Q, il suffit donc
de regarder les invariants sous les sous-groupes minimaux de Gal(Q(a)/Q), i.e. les
invariants sous un élément, disons σ : a → F (a), et faire varier F (a) au sein des
racines du polynôme minimal de a.
Pour calculer ces invariants sous σ, on cherche les polynômes R =
n−1
i=0 c i x i
(où n désigne le degré de l’extension) tels que σ(R(a)) = R(σ(a)) = R(a) dans
Q(a). Sachant que (1, a, . . . , a n−1 ) forme une base, cela constitue un système à
résoudre en les c i . On écrit la matrice A du système et on le résout sous Maple
avec la commande LinearAlgebra[NullSpace](A).
☞ Quelques commandes Maple utiles : coeff, collect, subs, Matrix(n,f)
(où f:=(i,j)->... définit les coefficients) ; on ordonne par degré croissant une
liste L de polynômes en invoquant sort(L,ordpoly), où
> ordpoly:=proc(f,g)
if degree(f,x)<= degree(g,x) then return(true) else return(false) ;
fi;
end:
4. Soient P ∈ Q[x] un polynôme irréductible et L = Q(a) un corps de rupture. On suppose que L contient une deuxième racine b = F (a). Écrire une
procédure invariant(a,P,F) qui calcule les invariants, sous l’élément σ du
groupe Gal(L/Q) qui envoie a sur b (l’utilisateur a donc défini au préalable
alias(a=RootOf((P))). Ces éléments invariants seront présentés sous la forme
d’une liste LP de polynômes (ordonnés selon le degré), qui, lorsqu’ils sont évalués en a, constituent une base sur Q du sous-corps L σ .
Tester avec P = P 5 . On calculera les sous-corps maximaux en faisant varier
F (a) au sein des racines de P . Conclure qu’il n’existe pas de corps intermédiaire
non trivial. Est-ce étonnant ?
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