Algèbre T1
Si a désigne une racine de P (dans une extension), Q(a)/Q est donc une extension
normale et séparable, i.e. galoisienne, et le groupe de Galois de P est Gal(P ) =
Gal(Q(a)/Q), de cardinal n = [Q(a) : Q].
Les autres racines sont données par a i = F i (a), où les polynômes F i ∈ Q[x]
sont de degré inférieur strictement à n. Le groupe de Galois, Gal(P ), permute
les racines de P : P (σ(a i )) = σ(P (a i )) = 0 si σ ∈ Gal(P ). Comme les racines
de P sont distinctes et qu’un élément σ de Gal(P ) est déterminé par l’image de
a = a 1 , on peut voir Gal(P ) comme un sous-groupe de S n (après numérotation
des racines). On pose G = {σ 1 , . . . , σ n }, où σ j (a) = a j . La permutation ˜
σ j de S n
correspondant à σ j est déterminée par :
σ j (a i ) = F i (σ j (a)) = F i (a j ) = a ˜
σ j (i) .
1. Exemple « à la main ».
– Vérifier que P = x 6 + 243 est normal ; donner la liste L des racines de P ,
exprimées comme des polynômes en a (avec les notations précédentes).
– Définir chaque élément ˜
σ j comme une « permutation list » en regardant
quel élément de L correspond à chaque σ j (a i ), a i ∈ L.
– Vérifier que l’ensemble des ˜
σ j forme bien un sous-groupe de S 6 , du bon
ordre.
2. Écrire une procédure gal(P) renvoyant le groupe Gal(P ) exprimé comme un
permgroup selon la syntaxe de Maple. On prendra soin d’imprimer un message
d’erreur si P n’est pas irréductible ou s’il n’est pas normal.
3. Tester sur les exemples suivants et identifier, à chaque fois que c’est possible,
le groupe de Galois (dans l’esprit de la classification des groupes de petits
ordres) :
– P 1 = x 2 − 1, P 2 = x 4 + 3x 2 + 3 ;
– P 3 = x 6 + 12 ;
– P 4 = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ;
– P 5 = x 5 + x 4 − 4x 3 − 3x 2 + 3x + 1 ;
– P 6 = x 8 − 12x 6 + 23x 4 − 12x 2 + 1.
La correspondance de Galois : détermination des sous-corps
maximaux dans le cas normal
On rappelle le théorème de Galois (X.4.1 et théorème XIV.3.1) :
360
Si a désigne une racine de P (dans une extension), Q(a)/Q est donc une extension
normale et séparable, i.e. galoisienne, et le groupe de Galois de P est Gal(P ) =
Gal(Q(a)/Q), de cardinal n = [Q(a) : Q].
Les autres racines sont données par a i = F i (a), où les polynômes F i ∈ Q[x]
sont de degré inférieur strictement à n. Le groupe de Galois, Gal(P ), permute
les racines de P : P (σ(a i )) = σ(P (a i )) = 0 si σ ∈ Gal(P ). Comme les racines
de P sont distinctes et qu’un élément σ de Gal(P ) est déterminé par l’image de
a = a 1 , on peut voir Gal(P ) comme un sous-groupe de S n (après numérotation
des racines). On pose G = {σ 1 , . . . , σ n }, où σ j (a) = a j . La permutation ˜
σ j de S n
correspondant à σ j est déterminée par :
σ j (a i ) = F i (σ j (a)) = F i (a j ) = a ˜
σ j (i) .
1. Exemple « à la main ».
– Vérifier que P = x 6 + 243 est normal ; donner la liste L des racines de P ,
exprimées comme des polynômes en a (avec les notations précédentes).
– Définir chaque élément ˜
σ j comme une « permutation list » en regardant
quel élément de L correspond à chaque σ j (a i ), a i ∈ L.
– Vérifier que l’ensemble des ˜
σ j forme bien un sous-groupe de S 6 , du bon
ordre.
2. Écrire une procédure gal(P) renvoyant le groupe Gal(P ) exprimé comme un
permgroup selon la syntaxe de Maple. On prendra soin d’imprimer un message
d’erreur si P n’est pas irréductible ou s’il n’est pas normal.
3. Tester sur les exemples suivants et identifier, à chaque fois que c’est possible,
le groupe de Galois (dans l’esprit de la classification des groupes de petits
ordres) :
– P 1 = x 2 − 1, P 2 = x 4 + 3x 2 + 3 ;
– P 3 = x 6 + 12 ;
– P 4 = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 ;
– P 5 = x 5 + x 4 − 4x 3 − 3x 2 + 3x + 1 ;
– P 6 = x 8 − 12x 6 + 23x 4 − 12x 2 + 1.
La correspondance de Galois : détermination des sous-corps
maximaux dans le cas normal
On rappelle le théorème de Galois (X.4.1 et théorème XIV.3.1) :
360