TRAVAUX PRATIQUES
TP.XIV. Autour de la correspondance de Galois
Le but de ce TP est de calculer les sous-corps d’une extension Q(a)/Q définie
comme corps de rupture d’un polynôme irréductible P . Lorsque ce dernier est
normal, c’est-à-dire lorsque Q(a) est corps de décomposition de P et l’extension
Q(a)/Q galoisienne, il est facile de calculer le groupe de Galois G = Gal(P ) =
Gal(Q(a)/Q) comme groupe de permutations des racines qui sont des polynômes
en a. On utilise alors la correspondance de Galois pour déterminer les sous-corps
maximaux de Q(a) : il suffit de calculer les invariants sous un élément de G en
résolvant un système linéaire.
Par contre, lorsque P n’est pas normal, il est beaucoup plus difficile de calculer
le groupe de Galois (voir TP.XVI) et l’extension Q(a)/Q n’est plus galoisienne.
On va déterminer les sous-corps sans calculer Gal(P ), la correspondance de Galois
étant cependant toujours en filigrane, quitte à passer à la clôture galoisienne. On
a besoin pour cela de savoir décrire une intersection Q(a) ∩ Q(b) de deux corps
de nombres. En résolvant algorithmiquement ce problème, on parvient à décrire
les sous-corps maximaux, donc tous les corps intermédiaires, quitte à réitérer le
processus.
☞ Il est souhaitable que le lecteur soit familier de la manipulation des
groupes de permutations sous Maple (charger la librairies group et consulter
au besoin le TP.I) et des calculs dans les corps de nombres (commande RooOf).
Les algorithmes des TP.XI et TP.XII seront réinvestis.
Le groupe de Galois comme groupe de permutations :
cas des polynômes normaux
Soit P ∈ Q[x] un polynôme irréductible de degré n. On suppose que P est
normal, c’est-à-dire que tout corps de rupture de P est corps de décomposition.
TP.XIV. Autour de la correspondance de Galois
Le but de ce TP est de calculer les sous-corps d’une extension Q(a)/Q définie
comme corps de rupture d’un polynôme irréductible P . Lorsque ce dernier est
normal, c’est-à-dire lorsque Q(a) est corps de décomposition de P et l’extension
Q(a)/Q galoisienne, il est facile de calculer le groupe de Galois G = Gal(P ) =
Gal(Q(a)/Q) comme groupe de permutations des racines qui sont des polynômes
en a. On utilise alors la correspondance de Galois pour déterminer les sous-corps
maximaux de Q(a) : il suffit de calculer les invariants sous un élément de G en
résolvant un système linéaire.
Par contre, lorsque P n’est pas normal, il est beaucoup plus difficile de calculer
le groupe de Galois (voir TP.XVI) et l’extension Q(a)/Q n’est plus galoisienne.
On va déterminer les sous-corps sans calculer Gal(P ), la correspondance de Galois
étant cependant toujours en filigrane, quitte à passer à la clôture galoisienne. On
a besoin pour cela de savoir décrire une intersection Q(a) ∩ Q(b) de deux corps
de nombres. En résolvant algorithmiquement ce problème, on parvient à décrire
les sous-corps maximaux, donc tous les corps intermédiaires, quitte à réitérer le
processus.
☞ Il est souhaitable que le lecteur soit familier de la manipulation des
groupes de permutations sous Maple (charger la librairies group et consulter
au besoin le TP.I) et des calculs dans les corps de nombres (commande RooOf).
Les algorithmes des TP.XI et TP.XII seront réinvestis.
Le groupe de Galois comme groupe de permutations :
cas des polynômes normaux
Soit P ∈ Q[x] un polynôme irréductible de degré n. On suppose que P est
normal, c’est-à-dire que tout corps de rupture de P est corps de décomposition.