Travaux pratiques
Dans le premier cas, le corps laissé fixe par G K et σG K σ −1 est le corps K∩Q(σ(a))
et σ(a) est une racine de μ a . Dans le second cas, σ(a) appartient à K, puisque
G K = σG K σ −1 , et le corps laissé fixe par G K et σ est Q(σ(a)) σ . Cela démontre
la proposition.
On est donc ramené au calcul de l’intersection de deux corps de nombres,
problème déjà résolu. On trouve tous les sous-corps en réitérant au besoin le
processus (on calcule les sous-corps maximaux des sous-corps maximaux, etc.).
10. Écrire une procédure SousCorps:=proc(P) renvoyant, en fonction du polynôme irréductible P définissant le corps de rupture K = Q(a) (à isomorphisme
près), une liste d’éléments primitifs des corps K i de la proposition 2. Pour
chaque exemple ci-dessous, déterminer tous les sous-corps propres et préciser
ceux qui sont maximaux :
– P 1 = x 3 + 3x 2 − x − 4, P 2 = x 6 + 2x 3 − 2
– P 3 = x 6 − 3x 5 + 6x 4 − 7x 3 + 2x 2 + x − 4, P 4 = x 6 + 3x 3 + 3
– P 5 = x 6 − 3x 2 + 1, P 6 = x 6 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 2.
Remarque. Cette approche est due à Laudau et Miller. Le lecteur intéressé trouvera
décrite dans [22] une autre méthode qui mêle ces techniques à des techniques
« modulaires ». En effet, on constate vite que les calculs algébriques sont assez
gourmands en temps (pour P 6 par exemple), d’où la nécessité de développer de
nouvelles stratégies.
365
Dans le premier cas, le corps laissé fixe par G K et σG K σ −1 est le corps K∩Q(σ(a))
et σ(a) est une racine de μ a . Dans le second cas, σ(a) appartient à K, puisque
G K = σG K σ −1 , et le corps laissé fixe par G K et σ est Q(σ(a)) σ . Cela démontre
la proposition.
On est donc ramené au calcul de l’intersection de deux corps de nombres,
problème déjà résolu. On trouve tous les sous-corps en réitérant au besoin le
processus (on calcule les sous-corps maximaux des sous-corps maximaux, etc.).
10. Écrire une procédure SousCorps:=proc(P) renvoyant, en fonction du polynôme irréductible P définissant le corps de rupture K = Q(a) (à isomorphisme
près), une liste d’éléments primitifs des corps K i de la proposition 2. Pour
chaque exemple ci-dessous, déterminer tous les sous-corps propres et préciser
ceux qui sont maximaux :
– P 1 = x 3 + 3x 2 − x − 4, P 2 = x 6 + 2x 3 − 2
– P 3 = x 6 − 3x 5 + 6x 4 − 7x 3 + 2x 2 + x − 4, P 4 = x 6 + 3x 3 + 3
– P 5 = x 6 − 3x 2 + 1, P 6 = x 6 + 2x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 2.
Remarque. Cette approche est due à Laudau et Miller. Le lecteur intéressé trouvera
décrite dans [22] une autre méthode qui mêle ces techniques à des techniques
« modulaires ». En effet, on constate vite que les calculs algébriques sont assez
gourmands en temps (pour P 6 par exemple), d’où la nécessité de développer de
nouvelles stratégies.
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