Algèbre T1
1. Montrer que V vérifie les propriétés suivantes :
(i) Pour tout U ∈ V, il existe V ∈ V tel que V.V ⊆ U
(ii) Pour tout U ∈ V, il existe V ∈ V tel que V −1 ⊆ U
(iii) Pour tout U ∈ V et tout a ∈ G, il existe V ∈ V tel que V ⊆ aU a −1 .
2. Réciproquement, soit V une famille de parties de G satisfaisant aux propriétés
ci-dessus. Montrer qu’il existe une topologie et une seule sur G, compatible avec la
structure de groupe de G, pour laquelle V soit une base de voisinages de l’élément
neutre de G.
3. Montrer que si V est formée de sous-groupes de G les conditions (i) et (ii) sont
automatiquement vérifiées et que si ces sous-groupes sont normaux, la condition
(iii) est vérifiée.
4. Montrer que le groupe topologique G est séparé si et seulement si {e} est fermé.
Dans toute la suite, E/K est une extension galoisienne et G = Gal(E/K) est
son groupe de Galois.
Pour toute sous-extension L de E, galoisienne et de degré fini sur K, on pose
g(L) = Gal(E/L). Les g(L), pour L parcourant les sous-extensions E, galoisiennes et de degré fini sur K, sont des sous-groupes de G, normaux d’après le
théorème (XIV.3.2). On obtient ainsi une base de voisinages de l’élément neutre de
G. Dans toute la suite, on supposera G muni de la topologie ainsi définie, qu’on
appellera « topologie de groupe de Galois ». C’est la topologie discrète lorsque
l’extension E/K est galoisienne finie.
5. Soit H un sous-groupe de G dont le corps des invariants est égal à K. Montrer que pour toute sous-extension L de E, galoisienne de degré fini sur K, tout
K-automorphisme de L est la restriction d’un automorphisme appartenant à H.
6. Montrer que le résultat de la question précédente peut aussi s’énoncer de la
façon suivante : H est partout dense dans G.
On peut considérer G comme partie de l’ensemble N N des applications de N
dans N.
7. Montrer que la topologie de G est induite par la topologie produit des topologies
discrètes sur les facteurs de N N .
8. En déduire que le groupe topologique G est compact, totalement discontinu.
(Puisque N N est séparé et totalement discontinu, il en est de même pour le sousespace G. On montrera que G est relativement compact dans N N , puis qu’il est
fermé.)
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1. Montrer que V vérifie les propriétés suivantes :
(i) Pour tout U ∈ V, il existe V ∈ V tel que V.V ⊆ U
(ii) Pour tout U ∈ V, il existe V ∈ V tel que V −1 ⊆ U
(iii) Pour tout U ∈ V et tout a ∈ G, il existe V ∈ V tel que V ⊆ aU a −1 .
2. Réciproquement, soit V une famille de parties de G satisfaisant aux propriétés
ci-dessus. Montrer qu’il existe une topologie et une seule sur G, compatible avec la
structure de groupe de G, pour laquelle V soit une base de voisinages de l’élément
neutre de G.
3. Montrer que si V est formée de sous-groupes de G les conditions (i) et (ii) sont
automatiquement vérifiées et que si ces sous-groupes sont normaux, la condition
(iii) est vérifiée.
4. Montrer que le groupe topologique G est séparé si et seulement si {e} est fermé.
Dans toute la suite, E/K est une extension galoisienne et G = Gal(E/K) est
son groupe de Galois.
Pour toute sous-extension L de E, galoisienne et de degré fini sur K, on pose
g(L) = Gal(E/L). Les g(L), pour L parcourant les sous-extensions E, galoisiennes et de degré fini sur K, sont des sous-groupes de G, normaux d’après le
théorème (XIV.3.2). On obtient ainsi une base de voisinages de l’élément neutre de
G. Dans toute la suite, on supposera G muni de la topologie ainsi définie, qu’on
appellera « topologie de groupe de Galois ». C’est la topologie discrète lorsque
l’extension E/K est galoisienne finie.
5. Soit H un sous-groupe de G dont le corps des invariants est égal à K. Montrer que pour toute sous-extension L de E, galoisienne de degré fini sur K, tout
K-automorphisme de L est la restriction d’un automorphisme appartenant à H.
6. Montrer que le résultat de la question précédente peut aussi s’énoncer de la
façon suivante : H est partout dense dans G.
On peut considérer G comme partie de l’ensemble N N des applications de N
dans N.
7. Montrer que la topologie de G est induite par la topologie produit des topologies
discrètes sur les facteurs de N N .
8. En déduire que le groupe topologique G est compact, totalement discontinu.
(Puisque N N est séparé et totalement discontinu, il en est de même pour le sousespace G. On montrera que G est relativement compact dans N N , puis qu’il est
fermé.)
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