Thèmes de réflexion
9. Soit F une sous-extension de E, de degré fini sur K. Montrer que Gal(E/F )
est un sous-groupe ouvert et fermé de G.
10. Soit N une sous-extension quelconque de E. Montrer que Gal(E/N ) est un
sous-groupe fermé de G. Montrer que la topologie de Gal(E/N ) induite par celle
de G coïncide avec la topologie de groupe de Galois de Gal(E/N ). (On considérera
G et Gal(E/N ) comme sous-espaces de N N .)
11. Soient H un sous-groupe de G et N le corps des invariants de H. Montrer
que Gal(E/N ) est l’adhérence de H dans G. (Utiliser la question 6.)
Les résultats précédents se résument dans l’énoncé suivant :
Théorème. Soient E/K une extension galoisienne, G = Gal(E/K) son groupe de
Galois (topologique), G l’ensemble des sous-groupes fermés de G, K l’ensemble des
corps intermédiaires entre K et E. Pour tout H ∈ G, on note Inv(H) le corps
des invariants de H. Les applications
Φ : K(E/K) −→ G(G), L −→ Gal(E/L)
Ψ : G(G) −→ K(E/K), H −→ Inv(H)
sont des applications bijectives, réciproques l’une de l’autre.
12. Soit L une sous-extension de E. Montrer que l’extension L/K est galoisienne si et seulement si le groupe Gal(E/L) est un sous groupe normal de G.
Dans ce cas, montrer que le groupe Gal(L/K) est isomorphe au groupe topologique Gal(E/K)/Gal(E/L) (i.e. la projection canonique est un isomorphisme de
groupes et un homéomorphisme). (Utiliser le fait que les groupes Gal(E/K) et
Gal(L/K) sont compacts et montrer que l’application, qui à σ ∈ Gal(E/K) fait
correspondre sa restriction à L, est continue.) (On rappelle qu’un espace quotient
est muni de la topologie la plus fine rendant la projection canonique continue.)
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