THÈMES DE RÉFLEXION
♠ TR.XIV. Théorie de Galois des extensions infinies
Les théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois exposés dans ce chapitre
qui établissent une correspondance biunivoque entre les sous-groupes du groupe
de Galois et les extensions intermédiaires, ainsi que la correspondance entre sousgroupes normaux et sous-extensions galoisiennes, utilisent très fortement le fait
que les extensions galoisiennes considérées sont finies. Si on considère une extension galoisienne E/K infinie, ces résultats ne sont plus vrais. En particulier,
il peut exister des sous-groupes du groupe Gal(E/K), distincts de Gal(E/K),
ayant pour corps d’invariants K.
Cependant, dans le cas où l’extension galoisienne E/K est infinie, on peut
énoncer des théorèmes analogues aux théorèmes (XIV.3.1) et (XIV.3.2), à condition de munir le groupe de Galois Gal(E/K) d’une topologie.
Nous allons tout d’abord étudier la notion de groupe topologique. Un groupe
G, dont on notera la loi multiplicativement, est un groupe topologique s’il
est muni d’une topologie compatible avec la structure de groupe de G, i.e. rendant continues les applications définies par le produit et le passage à l’inverse,
(x, y) → xy et x → x −1 , pour tous éléments x et y de G.
Il en résulte, en particulier, que pour tout élément a ∈ G les applications de
G dans G définies par x → ax, x → xa, ainsi que l’application x → x −1 , sont
des homéomorphismes. Ceci montre que la topologie du groupe est entièrement
déterminée par la donnée d’une base de voisinages de son élément neutre. Précisément, si V est une base de voisinages de l’élément neutre de G, pour tout élément
a ∈ G, {aV |V ∈ V} = {V a|V ∈ V} est une base de voisinages de a.
Soit G un groupe topologique dont on notera e l’élément neutre et soit V une
base de voisinages de e.
♠ TR.XIV. Théorie de Galois des extensions infinies
Les théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois exposés dans ce chapitre
qui établissent une correspondance biunivoque entre les sous-groupes du groupe
de Galois et les extensions intermédiaires, ainsi que la correspondance entre sousgroupes normaux et sous-extensions galoisiennes, utilisent très fortement le fait
que les extensions galoisiennes considérées sont finies. Si on considère une extension galoisienne E/K infinie, ces résultats ne sont plus vrais. En particulier,
il peut exister des sous-groupes du groupe Gal(E/K), distincts de Gal(E/K),
ayant pour corps d’invariants K.
Cependant, dans le cas où l’extension galoisienne E/K est infinie, on peut
énoncer des théorèmes analogues aux théorèmes (XIV.3.1) et (XIV.3.2), à condition de munir le groupe de Galois Gal(E/K) d’une topologie.
Nous allons tout d’abord étudier la notion de groupe topologique. Un groupe
G, dont on notera la loi multiplicativement, est un groupe topologique s’il
est muni d’une topologie compatible avec la structure de groupe de G, i.e. rendant continues les applications définies par le produit et le passage à l’inverse,
(x, y) → xy et x → x −1 , pour tous éléments x et y de G.
Il en résulte, en particulier, que pour tout élément a ∈ G les applications de
G dans G définies par x → ax, x → xa, ainsi que l’application x → x −1 , sont
des homéomorphismes. Ceci montre que la topologie du groupe est entièrement
déterminée par la donnée d’une base de voisinages de son élément neutre. Précisément, si V est une base de voisinages de l’élément neutre de G, pour tout élément
a ∈ G, {aV |V ∈ V} = {V a|V ∈ V} est une base de voisinages de a.
Soit G un groupe topologique dont on notera e l’élément neutre et soit V une
base de voisinages de e.