Chapitre XIV. Extensions galoisiennes – Théorie de Galois des extensions finies
On peut représenter les inclusions entre ces groupes par le diagramme cidessous, où chaque flèche (y compris composée) représente une inclusion.
G
T
> >
~
~
~
~
~
~
~
S
O O
U
_ _ @ @ @ @ @ @ @
D
> >
~
~
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~
~
~
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B
O O
A
` ` @ @ @ @ @ @ @
O O
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~
~
~
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C
O O
E
` ` @ @ @ @ @ @ @
I
7 7
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
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~
~
~
O O
` ` @ @ @ @ @ @ @ @
g g P P P P P P P P P P P P P P P
Détermination des sous-extensions de K/Q : d’après la théorie de Galois, on
sait que chaque corps intermédiaire L, Q ⊂ L ⊂ K, est le corps des invariants
d’un des groupes ci-dessus. De plus, chaque inclusion entre sous-groupes induit une
inclusion (dans l’autre sens) entre corps intermédiaires. Si, pour un sous-groupe H,
on note L(H) le corps de ses invariants, on peut, avec la même convention que
ci-dessus, représenter les corps intermédiaires par le diagramme suivant :
Q = L(G)
% %
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
y y s s s s s s s s s s
L(T )
{ { w w w w w w w w w
% %
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
L(S)
L(U )
# #
G
G
G
G
G
G
G
G
G
y y s s s s s s s s s s
L(D)
* *
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
L(B)
% %
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
L(A)
L(C)
y y s s s s s s s s s s
L(E)
t t j j j j j j j j j j j j j j j j j j
K = L(I)
Puisque 4 = |S| = |T | = |U |, on a 4 = [K : L(S)] = [K : L(T )] = [K : L(U )],
d’où [L(S) : Q] = [L(T ) : Q] = [L(U ) : Q] = 2. Il est facile de vérifier que
L(S) = Q(i), L(T ) = Q(
√
2), L(U ) = Q(i
√
2). Pour les mêmes raisons que cidessus, pour Λ = A, B, C, D, E, on a [L(Λ) : Q] = 4. Pour calculer explicitement
les corps L(Λ), on écrit un élément générique de Q(i, α),
x = a 0 + a 1 α + a 2 α
2 + a 3 α
3 + a 4 i + a 5 iα + a 6 iα
2 + a 7 iα
3 ,
a i ∈ Q, i = 0, ..., 7, et on cherche à quelles conditions sur les a i on a λ(x) = x
pour λ ∈ Λ.
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