XIV.4. Étude d’un exemple
À titre d’exemple, calculons L(C). On a
στ (x) = a 0 + a 5 α − a 2 α
2
− a 7 α
3
− a 4 i + a 1 iα + a 6 iα
2
− a 3 iα
3 .
D’où στ (x) = x si et seulement si a 0 = a 0 , a 1 = a 5 , a 2 = −a 2 , a 3 = −a 7 ,
a 4 = −a 4 , a 6 = a 6 . Donc στ (x) = x si et seulement si,
x = a 0 + a 1 (1 + i)α + a 6 iα
2 + a 3 (1 − i)α
3
= a 0 + a 1 (1 + i)α +
a 6
2
[(1 + i)α]
2
−
a 3
2
[(1 + i)α]
3
autrement dit, L(C) = Q((1 + i)α).
De la même manière, on trouve L(A) = Q(i,
√
2), L(B) = Q(α),
L(D) = Q(iα), L(E) = Q((1 − i)α).
Détermination des extensions L/Q qui sont galoisiennes : les sous-groupes
normaux de D 4 sont D 4 , S, T , U , A, I. Par conséquent, les extensions L(Λ)/Q,
pour Λ = D 4 , S, T, U, A, I sont galoisiennes, de groupes de Galois isomorphes à
D 4 /Λ.
Puisque chacune des extensions intervenant ici est finie séparable, elle admet un élément primitif. On vérifiera que l’élément i + α est primitif pour K/Q
(indication : ∀σ = σ ∈ G, σ(i + α) = σ (i + α).)
353