XIV.4. Étude d’un exemple
D’où K = Q(i, α). Par construction, l’extension K/Q est normale et, puisque
Q est de caractéristique nulle, séparable. L’extension K/Q est donc galoisienne.
Déterminons son degré. On a
[Q(i, α) : Q] = [Q(i, α) : Q(α)][Q(α) : Q].
Par application du critère d’Eisenstein, le polynôme X 4 − 2 est irréductible sur
Q ; on en déduit que [Q(α) : Q] = 4. D’autre part, le polynôme minimal de i
sur Q(α) est X 2 + 1, d’où [Q(i, α) : Q(α)] = 2. On a donc [Q(i, α) : Q] = 8.
L’extension K/Q est galoisienne de degré 8, son groupe de Galois G est donc un
groupe d’ordre 8.
Détermination de G : il existe un élément σ de G définie par σ(i) = i et
σ(α) = iα et un élément τ défini par τ (i) = −i et τ (α) = α. On vérifie facilement que σ est d’ordre 4 et τ d’ordre 2 et que τ σ = σ 3 τ . Le groupe diédral
D 4 = σ, τ |σ 4 = τ 2 = 1, τ σ = σ 3 τ (cf. TR.IV.A) est donc contenu dans G. Mais
mbox|D 4 | = 8 = |G|, d’où G = D 4 .
Détermination des sous-groupes de G : Les sous-groupes de G sont d’ordre 8,
4, 2, 1. Explicitons-les :
Ordre 8 : G.
Ordre 4 :
S = σ Z/4Z
T = {1, σ 2 , τ, σ 2 τ } } Z/2Z × Z/2Z
U = {1, σ 2 , στ, σ 3 τ } } Z/2Z × Z/2Z.
Ordre 2 :
A = {1, σ 2 }
B = {1, τ}
C = {1, στ}
D = {1, σ 2 τ }
E = {1, σ 3 τ }.
Ordre 1 : I = {1}.
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