Chapitre XIV. Extensions galoisiennes – Théorie de Galois des extensions finies
Exercice XIV.2. Soit K un corps de caractéristique différente de 2.
a) Montrer que si E/K est une extension galoisienne de degré 4 dont le groupe
de Galois est Z/2Z × Z/2Z, alors E = K(α, β) avec α 2 , β 2 ∈ K.
b) On suppose que α 2 = a et β 2 = b et que les éléments a, b, ab ne sont pas des
carrés dans K. Montrer que K(α, β)/K est une extension galoisienne de degré 4
dont le groupe de Galois est Z/2Z × Z/2Z.
La théorie de Galois permet de préciser le lien entre les énoncés des théorèmes (XIII.4.1) et (XIII.4.2).
Proposition XIV.3.1. Si E/K est une extension séparable finie, il n’existe qu’un
nombre fini de corps intermédiaires entre K et E.
Démonstration. Soit N la clôture normale de E sur K. Alors N/K est une extension galoisienne finie. Les corps intermédiaires entre K et E correspondent à une
famille de sous-groupes de Gal(N/K). Ce groupe étant fini, il n’a qu’un nombre
fini de sous-groupes.
Exercice XIV.3. Soient K un corps, N/K une extension galoisienne finie, L
et L des corps intermédiaires. On pose G = Gal(N/K), G = Gal(N/L ),
G = Gal(N/L ).
a) Montrer que si L /K et L /K sont des extensions normales telles que
L ∩ L = K et L ∪ L engendre N , alors le groupe G est isomorphe au produit
direct G × G . (Pour G G × G , cf. proposition I.3.4 et remarquer que G et
G sont des sous-groupes normaux de G.)
b) Montrer que dans ce cas, on a G Gal(L /K) × Gal(L /K).
c) On suppose que le groupe G est isomorphe au produit direct de deux
sous-groupes G 1 et G 2 . On pose L 1 = Inv(G 1 ) et L 2 = Inv(G 2 ). Montrer que
L 1 ∩ L 2 = K et que L 1 ∪ L 2 engendre N .
XIV.4. Étude d’un exemple
Soit K ⊆ C le corps de décomposition sur Q du polynôme f (X) = X 4 − 2.
Dans C, on a
f (X) = (X − α)(X + α)(X − iα)(X + iα),
avec α = 2 1/4 ∈ R + .
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Exercice XIV.2. Soit K un corps de caractéristique différente de 2.
a) Montrer que si E/K est une extension galoisienne de degré 4 dont le groupe
de Galois est Z/2Z × Z/2Z, alors E = K(α, β) avec α 2 , β 2 ∈ K.
b) On suppose que α 2 = a et β 2 = b et que les éléments a, b, ab ne sont pas des
carrés dans K. Montrer que K(α, β)/K est une extension galoisienne de degré 4
dont le groupe de Galois est Z/2Z × Z/2Z.
La théorie de Galois permet de préciser le lien entre les énoncés des théorèmes (XIII.4.1) et (XIII.4.2).
Proposition XIV.3.1. Si E/K est une extension séparable finie, il n’existe qu’un
nombre fini de corps intermédiaires entre K et E.
Démonstration. Soit N la clôture normale de E sur K. Alors N/K est une extension galoisienne finie. Les corps intermédiaires entre K et E correspondent à une
famille de sous-groupes de Gal(N/K). Ce groupe étant fini, il n’a qu’un nombre
fini de sous-groupes.
Exercice XIV.3. Soient K un corps, N/K une extension galoisienne finie, L
et L des corps intermédiaires. On pose G = Gal(N/K), G = Gal(N/L ),
G = Gal(N/L ).
a) Montrer que si L /K et L /K sont des extensions normales telles que
L ∩ L = K et L ∪ L engendre N , alors le groupe G est isomorphe au produit
direct G × G . (Pour G G × G , cf. proposition I.3.4 et remarquer que G et
G sont des sous-groupes normaux de G.)
b) Montrer que dans ce cas, on a G Gal(L /K) × Gal(L /K).
c) On suppose que le groupe G est isomorphe au produit direct de deux
sous-groupes G 1 et G 2 . On pose L 1 = Inv(G 1 ) et L 2 = Inv(G 2 ). Montrer que
L 1 ∩ L 2 = K et que L 1 ∪ L 2 engendre N .
XIV.4. Étude d’un exemple
Soit K ⊆ C le corps de décomposition sur Q du polynôme f (X) = X 4 − 2.
Dans C, on a
f (X) = (X − α)(X + α)(X − iα)(X + iα),
avec α = 2 1/4 ∈ R + .
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