XIV.3. Théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois
Attention. L’hypothèse [E : K] < +∞ est essentielle. L’énoncé du théorème XIV.3.1 n’est plus valable si E/K est une extension galoisienne infinie,
cf. TR.XIV. Cependant, on remarquera que, dès que E/K est galoisienne, l’application Φ est injective (et l’application Ψ surjective).
Exercice XIV.1. On reprend les notations de l’exercice XII.1. On note
G = Gal(K(a, b, c)/K).
a) On suppose que le polynôme P (X) est réductible sur K. Quelles sont les
structures possibles de groupes sur G ? Préciser ces structures en fonction de d.
b) On suppose que le polynôme P (X) est irréductible sur K. Montrer que si
d ∈ K, alors G A 3 , et que si d /
∈ K, alors G S 3 . Préciser les extensions
intermédiaires entre K et K(a, b, c).
Théorème XIV.3.2. Soient E/K une extension finie galoisienne et L un corps intermédiaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’extension L/K est galoisienne
(ii) Gal(E/L) est un sous-groupe normal de Gal(E/K).
De plus, si ces conditions sont vérifiées, l’application, qui à un élément de
Gal(E/K) fait correspondre sa restriction à L, induit un isomorphisme de groupes
Gal(E/K)/Gal(E/L) Gal(L/K).
Démonstration. D’après la proposition (XIII.2.6), l’extension L/K est normale
si et seulement si elle est égale à toutes ses conjuguées, donc, d’après le
théorème (XIV.1.4), si et seulement si Gal(E/L) est un sous-groupe normal
de Gal(E/K).
Supposons ces conditions vérifiées. Alors, si s ∈ Gal(E/K), on a s(L) = L,
d’où la restriction de s à L appartient à Gal(L/K). Il est clair que
ϕ : Gal(E/K) −→ Gal(L/K),
où ϕ(s) est la restriction de s à L, est un morphisme de groupes. Montrons que
ϕ est surjectif ; soit t ∈ Gal(L/K) : le K-morphisme
L
t
−→ L −→ K
se prolonge en s : E −→ K. Puisque E/K est normale, s est un K-automorphisme
de E, i.e. s ∈ Gal(E/K). On a donc t = ϕ(s). D’autre part, ϕ(s) = id L est
équivalent à s ∈ Gal(E/L), i.e. Ker(ϕ) est égal à Gal(E/L).
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Attention. L’hypothèse [E : K] < +∞ est essentielle. L’énoncé du théorème XIV.3.1 n’est plus valable si E/K est une extension galoisienne infinie,
cf. TR.XIV. Cependant, on remarquera que, dès que E/K est galoisienne, l’application Φ est injective (et l’application Ψ surjective).
Exercice XIV.1. On reprend les notations de l’exercice XII.1. On note
G = Gal(K(a, b, c)/K).
a) On suppose que le polynôme P (X) est réductible sur K. Quelles sont les
structures possibles de groupes sur G ? Préciser ces structures en fonction de d.
b) On suppose que le polynôme P (X) est irréductible sur K. Montrer que si
d ∈ K, alors G A 3 , et que si d /
∈ K, alors G S 3 . Préciser les extensions
intermédiaires entre K et K(a, b, c).
Théorème XIV.3.2. Soient E/K une extension finie galoisienne et L un corps intermédiaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’extension L/K est galoisienne
(ii) Gal(E/L) est un sous-groupe normal de Gal(E/K).
De plus, si ces conditions sont vérifiées, l’application, qui à un élément de
Gal(E/K) fait correspondre sa restriction à L, induit un isomorphisme de groupes
Gal(E/K)/Gal(E/L) Gal(L/K).
Démonstration. D’après la proposition (XIII.2.6), l’extension L/K est normale
si et seulement si elle est égale à toutes ses conjuguées, donc, d’après le
théorème (XIV.1.4), si et seulement si Gal(E/L) est un sous-groupe normal
de Gal(E/K).
Supposons ces conditions vérifiées. Alors, si s ∈ Gal(E/K), on a s(L) = L,
d’où la restriction de s à L appartient à Gal(L/K). Il est clair que
ϕ : Gal(E/K) −→ Gal(L/K),
où ϕ(s) est la restriction de s à L, est un morphisme de groupes. Montrons que
ϕ est surjectif ; soit t ∈ Gal(L/K) : le K-morphisme
L
t
−→ L −→ K
se prolonge en s : E −→ K. Puisque E/K est normale, s est un K-automorphisme
de E, i.e. s ∈ Gal(E/K). On a donc t = ϕ(s). D’autre part, ϕ(s) = id L est
équivalent à s ∈ Gal(E/L), i.e. Ker(ϕ) est égal à Gal(E/L).
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