Chapitre XIV. Extensions galoisiennes – Théorie de Galois des extensions finies
XIV.2. Clôture galoisienne d’une extension séparable
Proposition - Définition XIV.2.1. Soit K/k une extension algébrique séparable.
La clôture normale de K (dans k) est une extension galoisienne, appelée
clôture galoisienne de l’extension K/k.
Démonstration. Il suffit de montrer que la clôture normale N de K est séparable
sur k. D’après la proposition (XIII.2.4), tout élément de N est racine du polynôme
minimal d’un élément de K. Il est donc séparable sur k.
Proposition XIV.2.2. Si l’extension K/k est séparable finie, sa clôture galoisienne
est une extension finie de k.
Démonstration. C’est une conséquence immédiate du corollaire (XIII.2.1).
Remarque XIV.2.1. On pourra donc, pour étudier les sous-extensions d’une extension finie séparable, la plonger dans sa clôture galoisienne et appliquer alors la
théorie de Galois des extensions galoisiennes finies développée ci-dessous.
XIV.3. Théorèmes fondamentaux de la théorie
de Galois
Soient E/K une extension, G = Gal(E/K) son groupe de Galois, G(G) l’ensemble des sous-groupes de G, K(E/K) l’ensemble des corps intermédiaires L,
K ⊂ L ⊂ E. Les ensembles G(G) et K(E/K) sont ordonnés par inclusion. On a
établi en (X.4) l’existence d’applications décroissantes
Φ : K(E/K) −→ G(G), L −→ Gal(E/L)
Ψ : G(G) −→ K(E/K), H −→ Inv(H) = E
H .
Le résultat ci-dessous répond à la question (X.4.1).
Théorème XIV.3.1. Soit E/K une extension finie galoisienne. L’application Φ est
une application bijective, dont l’application bijective réciproque est Ψ.
Démonstration. Montrons que Ψ ◦ Φ est égale à l’identité. Soit L un corps intermédiaire : puisque E/K est galoisienne, E/L l’est aussi et, par conséquent, d’après
le théorème (XIV.1.1), E Gal(E/L) = L.
Montrons que Φ◦Ψ est égale à l’identité. Soit H un sous-groupe de Gal(E/K)
et posons L = Inv(H). Puisque [E : K] < +∞, d’après le corollaire (XIV.1.1),
H est fini, donc, d’après le théorème (XIV.2.2), H = Gal(E/L).
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XIV.2. Clôture galoisienne d’une extension séparable
Proposition - Définition XIV.2.1. Soit K/k une extension algébrique séparable.
La clôture normale de K (dans k) est une extension galoisienne, appelée
clôture galoisienne de l’extension K/k.
Démonstration. Il suffit de montrer que la clôture normale N de K est séparable
sur k. D’après la proposition (XIII.2.4), tout élément de N est racine du polynôme
minimal d’un élément de K. Il est donc séparable sur k.
Proposition XIV.2.2. Si l’extension K/k est séparable finie, sa clôture galoisienne
est une extension finie de k.
Démonstration. C’est une conséquence immédiate du corollaire (XIII.2.1).
Remarque XIV.2.1. On pourra donc, pour étudier les sous-extensions d’une extension finie séparable, la plonger dans sa clôture galoisienne et appliquer alors la
théorie de Galois des extensions galoisiennes finies développée ci-dessous.
XIV.3. Théorèmes fondamentaux de la théorie
de Galois
Soient E/K une extension, G = Gal(E/K) son groupe de Galois, G(G) l’ensemble des sous-groupes de G, K(E/K) l’ensemble des corps intermédiaires L,
K ⊂ L ⊂ E. Les ensembles G(G) et K(E/K) sont ordonnés par inclusion. On a
établi en (X.4) l’existence d’applications décroissantes
Φ : K(E/K) −→ G(G), L −→ Gal(E/L)
Ψ : G(G) −→ K(E/K), H −→ Inv(H) = E
H .
Le résultat ci-dessous répond à la question (X.4.1).
Théorème XIV.3.1. Soit E/K une extension finie galoisienne. L’application Φ est
une application bijective, dont l’application bijective réciproque est Ψ.
Démonstration. Montrons que Ψ ◦ Φ est égale à l’identité. Soit L un corps intermédiaire : puisque E/K est galoisienne, E/L l’est aussi et, par conséquent, d’après
le théorème (XIV.1.1), E Gal(E/L) = L.
Montrons que Φ◦Ψ est égale à l’identité. Soit H un sous-groupe de Gal(E/K)
et posons L = Inv(H). Puisque [E : K] < +∞, d’après le corollaire (XIV.1.1),
H est fini, donc, d’après le théorème (XIV.2.2), H = Gal(E/L).
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