XIV.1. Extensions galoisiennes
Montrons que (ii) implique (i). Soient α ∈ E \ K et M α (X) le polynôme
minimal de α sur K. Puisque d ◦ M α > 1, d’après l’hypothèse, il existe β ∈ E,
β = α, tel que M α (β) = 0. Par conséquent, il existe un K-morphisme de E dans
K appliquant α sur β. C’est, par normalité de E/K, un K-automorphisme s de
E, i.e. s ∈ Gal(E/K) tel que s(α) = β = α. Ceci montre que tout α ∈ E \ K
n’appartient pas à Inv(Gal(E/K)). Comme K ⊂ Inv(Gal(E/K)), on en déduit
que Inv(Gal(E/K)) = K.
On peut maintenant donner une version plus précise du théorème (X.3.2).
Théorème XIV.1.2. Soient K un corps, G un groupe fini d’automorphismes de K et
K 0 le corps des invariants de G. L’extension K/K 0 est galoisienne, [K : K 0 ] = |G|
et G = Gal(K/K 0 ).
Démonstration. On a vu que [K : K 0 ] = |G| < +∞, l’extension K/K 0 est donc
algébrique. Puisque K 0 = Inv(G), d’après le théorème (XIV.1.1), il suffit de
prouver que G = Gal(K/K 0 ). Or, G est contenu dans Gal(K/K 0 ) et, de plus, on
sait que |Gal(K/K 0 )| [K : K 0 ] s [K : K 0 ]. On a donc : G ⊂ Gal(K/K 0 ) et
|Gal(K/K 0 )| |G|, d’où G = Gal(K/K 0 ).
Théorème XIV.1.3. Soient F/K et E/F des extensions. Si l’extension E/K est
galoisienne, alors E/F est galoisienne et Gal(E/F ) est un sous-groupe de
Gal(E/K).
Démonstration. La deuxième assertion est évidente et la première est une conséquence de la proposition (XIII.2.2) et du théorème (XIII.3.2).
Attention. Pour les mêmes raisons que dans la proposition (XIII.2.2),
(E/K galoisienne) =⇒ (F/K galoisienne).
Théorème XIV.1.4. Soient E/K une extension galoisienne, L et L deux corps intermédiaires. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Les corps L et L sont conjugués
(ii) Les groupes Gal(E/L) et Gal(E/L ) sont des sous-groupes conjugués de
Gal(E/K).
Démonstration. Le fait que (i) implique (ii) est une conséquence de la proposition (XIII.2.5) et de la proposition (X.4.1). Montrons que (ii) implique (i). D’après
la proposition (X.4.1), on sait que les corps Inv(Gal(E/L) et Inv(Gal(E/L )) sont
conjugués. Mais d’après le théorème (XIV.1.3), les extensions E/L et E/L sont
galoisiennes et donc, d’après le théorème (XIV.1.1), on a : Inv(Gal(E/L)) = L
et Inv(Gal(E/L )) = L .
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Montrons que (ii) implique (i). Soient α ∈ E \ K et M α (X) le polynôme
minimal de α sur K. Puisque d ◦ M α > 1, d’après l’hypothèse, il existe β ∈ E,
β = α, tel que M α (β) = 0. Par conséquent, il existe un K-morphisme de E dans
K appliquant α sur β. C’est, par normalité de E/K, un K-automorphisme s de
E, i.e. s ∈ Gal(E/K) tel que s(α) = β = α. Ceci montre que tout α ∈ E \ K
n’appartient pas à Inv(Gal(E/K)). Comme K ⊂ Inv(Gal(E/K)), on en déduit
que Inv(Gal(E/K)) = K.
On peut maintenant donner une version plus précise du théorème (X.3.2).
Théorème XIV.1.2. Soient K un corps, G un groupe fini d’automorphismes de K et
K 0 le corps des invariants de G. L’extension K/K 0 est galoisienne, [K : K 0 ] = |G|
et G = Gal(K/K 0 ).
Démonstration. On a vu que [K : K 0 ] = |G| < +∞, l’extension K/K 0 est donc
algébrique. Puisque K 0 = Inv(G), d’après le théorème (XIV.1.1), il suffit de
prouver que G = Gal(K/K 0 ). Or, G est contenu dans Gal(K/K 0 ) et, de plus, on
sait que |Gal(K/K 0 )| [K : K 0 ] s [K : K 0 ]. On a donc : G ⊂ Gal(K/K 0 ) et
|Gal(K/K 0 )| |G|, d’où G = Gal(K/K 0 ).
Théorème XIV.1.3. Soient F/K et E/F des extensions. Si l’extension E/K est
galoisienne, alors E/F est galoisienne et Gal(E/F ) est un sous-groupe de
Gal(E/K).
Démonstration. La deuxième assertion est évidente et la première est une conséquence de la proposition (XIII.2.2) et du théorème (XIII.3.2).
Attention. Pour les mêmes raisons que dans la proposition (XIII.2.2),
(E/K galoisienne) =⇒ (F/K galoisienne).
Théorème XIV.1.4. Soient E/K une extension galoisienne, L et L deux corps intermédiaires. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Les corps L et L sont conjugués
(ii) Les groupes Gal(E/L) et Gal(E/L ) sont des sous-groupes conjugués de
Gal(E/K).
Démonstration. Le fait que (i) implique (ii) est une conséquence de la proposition (XIII.2.5) et de la proposition (X.4.1). Montrons que (ii) implique (i). D’après
la proposition (X.4.1), on sait que les corps Inv(Gal(E/L) et Inv(Gal(E/L )) sont
conjugués. Mais d’après le théorème (XIV.1.3), les extensions E/L et E/L sont
galoisiennes et donc, d’après le théorème (XIV.1.1), on a : Inv(Gal(E/L)) = L
et Inv(Gal(E/L )) = L .
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