Chapitre XIV. Extensions galoisiennes – Théorie de Galois des extensions finies
Soit s : E −→ N un K-morphisme. Alors s(α) est une racine de M α (X), i.e.
s(α) = α i pour un certain i. Par conséquent, u
−1
i ◦ s est un K(α)-morphisme de
E dans N , donc par hypothèse de récurrence, c’est l’un des v j . D’où s = u i v j .
Remarque XIV.1.1. Soient E/K une extension algébrique et K une clôture algébrique de K contenant E. Tout élément s ∈ Gal(E/K) induit un K-morphisme
de E dans K. Donc si l’extension est finie, |Gal(E/K)| [E : K] s . Inversement, si l’extension E/K est normale, tout K-morphisme E −→ K est un
K-automorphisme de E, donc un élément de Gal(E/K). Par conséquent, si l’extension E/K est finie et normale, |Gal(E/K)| = [E : K] s .
Corollaire XIV.1.1. Soit E/K une extension algébrique finie, normale, séparable,
alors [E : K] = |Gal(E/K)|.
Définition XIV.1.1. Une extension E/K est dite galoisienne si elle est algébrique, normale et séparable.
Remarque XIV.1.2. Une extension algébrique E/K est galoisienne si et seulement
si pour tout α ∈ E, le polynôme minimal M α (X) de α sur K a toutes ses racines
simples et contenues dans E.
On déduit du théorème (X.3.2) et de la proposition (X.4.1) que si E/K est une
extension finie galoisienne, alors Inv(Gal(E/K)) = K. On a, plus généralement,
le résultat suivant :
Théorème XIV.1.1. Soit E/K une extension algébrique. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) Inv(Gal(E/K)) = K
(ii) L’extension E/K est galoisienne.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii). Soient α ∈ E et M α (X) son polynôme minimal sur K. On note α 1 = α, α 2 , . . . , α n ses racines distinctes et contenues dans E. Tout élément s ∈ Gal(E/K) permute les α i , il laisse donc invariant
le polynôme f (X) =
n
i=1
(X − α i ) ∈ E[X]. D’après l’hypothèse, f (X) appartient
à K[X]. Or f (α) = 0, donc f (X) est un multiple de M α (X). Mais, par construction, f (X) divise M α (X), d’où f (X) = M α (X). Ainsi M α (X) a toutes ses racines
simples et contenues dans E. L’extension E/K est galoisienne.
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Soit s : E −→ N un K-morphisme. Alors s(α) est une racine de M α (X), i.e.
s(α) = α i pour un certain i. Par conséquent, u
−1
i ◦ s est un K(α)-morphisme de
E dans N , donc par hypothèse de récurrence, c’est l’un des v j . D’où s = u i v j .
Remarque XIV.1.1. Soient E/K une extension algébrique et K une clôture algébrique de K contenant E. Tout élément s ∈ Gal(E/K) induit un K-morphisme
de E dans K. Donc si l’extension est finie, |Gal(E/K)| [E : K] s . Inversement, si l’extension E/K est normale, tout K-morphisme E −→ K est un
K-automorphisme de E, donc un élément de Gal(E/K). Par conséquent, si l’extension E/K est finie et normale, |Gal(E/K)| = [E : K] s .
Corollaire XIV.1.1. Soit E/K une extension algébrique finie, normale, séparable,
alors [E : K] = |Gal(E/K)|.
Définition XIV.1.1. Une extension E/K est dite galoisienne si elle est algébrique, normale et séparable.
Remarque XIV.1.2. Une extension algébrique E/K est galoisienne si et seulement
si pour tout α ∈ E, le polynôme minimal M α (X) de α sur K a toutes ses racines
simples et contenues dans E.
On déduit du théorème (X.3.2) et de la proposition (X.4.1) que si E/K est une
extension finie galoisienne, alors Inv(Gal(E/K)) = K. On a, plus généralement,
le résultat suivant :
Théorème XIV.1.1. Soit E/K une extension algébrique. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) Inv(Gal(E/K)) = K
(ii) L’extension E/K est galoisienne.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii). Soient α ∈ E et M α (X) son polynôme minimal sur K. On note α 1 = α, α 2 , . . . , α n ses racines distinctes et contenues dans E. Tout élément s ∈ Gal(E/K) permute les α i , il laisse donc invariant
le polynôme f (X) =
n
i=1
(X − α i ) ∈ E[X]. D’après l’hypothèse, f (X) appartient
à K[X]. Or f (α) = 0, donc f (X) est un multiple de M α (X). Mais, par construction, f (X) divise M α (X), d’où f (X) = M α (X). Ainsi M α (X) a toutes ses racines
simples et contenues dans E. L’extension E/K est galoisienne.
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