XIV
EXTENSIONS GALOISIENNES
THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS
FINIES
La théorie de Galois permet de répondre, dans le cas des extensions galoisiennes finies, à la question posée en (X.4.1). Le résultat principal de cette théorie
est que si E/K est une extension galoisienne finie, le groupe de Galois Gal(E/K)
et ses sous-groupes permettent de caractériser entièrement toutes les extensions
intermédiaires K ⊂ L ⊂ E.
XIV.1. Extensions galoisiennes
Proposition XIV.1.1. Soient E/K une extension séparable finie de degré n et N
la clôture normale de cette extension. Alors, il y a exactement n K-morphismes
distincts de E dans N .
Démonstration. On fait une démonstration par récurrence sur le degré de l’extension E/K. Si [E : K] = 1 c’est évident. Supposons le résultat vrai pour les
extensions de K de degré p < n. Soit [E : K] = n et soient α ∈ E \ K et M α (X)
son polynôme minimal sur K, qu’on suppose de degré r (r n). Le polynôme
M α (X) est séparable, il a donc exactement r racines distinctes α 1 = α, α 2 , . . . , α r
dans N . Puisque N est une extension normale, il existe r K-automorphismes
distincts u i de N tels que u i (α) = α i . D’autre part, en considérant l’extension
E/K(α), qui est de degré s = n/r < n, par hypothèse de récurrence, il existe s
K(α)-morphismes distincts v i de E dans N . Les applications w ij = u i v j sont
rs = n K-morphismes distincts de E dans N . Montrons qu’il n’y en a pas d’autres.
EXTENSIONS GALOISIENNES
THÉORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS
FINIES
La théorie de Galois permet de répondre, dans le cas des extensions galoisiennes finies, à la question posée en (X.4.1). Le résultat principal de cette théorie
est que si E/K est une extension galoisienne finie, le groupe de Galois Gal(E/K)
et ses sous-groupes permettent de caractériser entièrement toutes les extensions
intermédiaires K ⊂ L ⊂ E.
XIV.1. Extensions galoisiennes
Proposition XIV.1.1. Soient E/K une extension séparable finie de degré n et N
la clôture normale de cette extension. Alors, il y a exactement n K-morphismes
distincts de E dans N .
Démonstration. On fait une démonstration par récurrence sur le degré de l’extension E/K. Si [E : K] = 1 c’est évident. Supposons le résultat vrai pour les
extensions de K de degré p < n. Soit [E : K] = n et soient α ∈ E \ K et M α (X)
son polynôme minimal sur K, qu’on suppose de degré r (r n). Le polynôme
M α (X) est séparable, il a donc exactement r racines distinctes α 1 = α, α 2 , . . . , α r
dans N . Puisque N est une extension normale, il existe r K-automorphismes
distincts u i de N tels que u i (α) = α i . D’autre part, en considérant l’extension
E/K(α), qui est de degré s = n/r < n, par hypothèse de récurrence, il existe s
K(α)-morphismes distincts v i de E dans N . Les applications w ij = u i v j sont
rs = n K-morphismes distincts de E dans N . Montrons qu’il n’y en a pas d’autres.