Algèbre T1
a D(n1 E ) = 0 et D(k1 E ) = 0. (Autrement dit, en identifiant k à k1 E , on a
D(k) = 0, pour tout k de K.)
3. Soit D une dérivation de E. Montrer que l’ensemble {x ∈ E|D(x) = 0} est une
sous-K-algèbre de E.
4. Montrer que l’ensemble Der K (E) de toutes les K-dérivations de E est un
sous-K-module du K-module End K (E).
5. Déduire de ce qui précède que si D 1 et D 2 sont des dérivations qui coïncident
sur une partie génératrice de la K-algèbre E, on a D 1 = D 2 .
6. Soit E = K[X 1 , . . . , X n ] l’algèbre des polynômes en n indéterminées. On note
D i , 1 i n, la dérivation partielle par rapport à X i . Montrer que les D i ,
1 i n, forment une base du K-module Der K (E).
7. Soient A un anneau commutatif intègre et F son corps de fractions. Montrer
que toute dérivation D de A se prolonge de manière unique en une dérivation
D de F . Précisément, si a et b = 0 sont des éléments quelconques de A, on a
D(
a
b ) =
D(a)b−aD(b)
b 2
.
8. Soient K un corps commutatif et D i , 1 i n, les dérivations partielles de
K[X 1 , . . . , X n ] par rapport aux X i . Montrer que les D i , 1 i n, forment une
base du K-espace vectoriel Der K (K(X 1 , . . . , X n )).
On généralise la notion de dérivation étudiée ci-dessus de la façon suivante.
On suppose que E est une sous-K-algèbre d’une K-algèbre F : on appelle dérivation de E dans F toute application K-linéaire D de E dans F vérifiant
D(xy) = D(x)y + xD(y), pour tous éléments x et y de E. Les propriétés établies
ci-dessus sont encore vraies dans ce cadre.
Nous allons désormais nous placer dans la situation suivante : F/E est une
extension de corps et nous étudions les Z-dérivations de E dans F .
9. Soit D une dérivation de E dans F . Montrer que l’ensemble
K = {x ∈ E|D(x) = 0} est un sous-corps de E. En déduire que les dérivations de
E dans F sont des K-dérivations.
10. En déduire que toute dérivation d’un corps premier P dans tout sur-corps de
P est nulle.
Pour donner la caractérisation annoncée au début de ce TR, nous allons donner
un critère de prolongement des dérivations aux extensions de type fini.
Soient E ⊂ F des corps et D une dérivation de E dans F . On considère
L = E(x 1 , . . . , x n ) une extension de type fini de E contenue dans F et a l’idéal
des relations algébriques entre les x i , 1 i n, à coefficients dans E. On se
donne une famille u i , 1 i n, d’éléments de F .
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a D(n1 E ) = 0 et D(k1 E ) = 0. (Autrement dit, en identifiant k à k1 E , on a
D(k) = 0, pour tout k de K.)
3. Soit D une dérivation de E. Montrer que l’ensemble {x ∈ E|D(x) = 0} est une
sous-K-algèbre de E.
4. Montrer que l’ensemble Der K (E) de toutes les K-dérivations de E est un
sous-K-module du K-module End K (E).
5. Déduire de ce qui précède que si D 1 et D 2 sont des dérivations qui coïncident
sur une partie génératrice de la K-algèbre E, on a D 1 = D 2 .
6. Soit E = K[X 1 , . . . , X n ] l’algèbre des polynômes en n indéterminées. On note
D i , 1 i n, la dérivation partielle par rapport à X i . Montrer que les D i ,
1 i n, forment une base du K-module Der K (E).
7. Soient A un anneau commutatif intègre et F son corps de fractions. Montrer
que toute dérivation D de A se prolonge de manière unique en une dérivation
D de F . Précisément, si a et b = 0 sont des éléments quelconques de A, on a
D(
a
b ) =
D(a)b−aD(b)
b 2
.
8. Soient K un corps commutatif et D i , 1 i n, les dérivations partielles de
K[X 1 , . . . , X n ] par rapport aux X i . Montrer que les D i , 1 i n, forment une
base du K-espace vectoriel Der K (K(X 1 , . . . , X n )).
On généralise la notion de dérivation étudiée ci-dessus de la façon suivante.
On suppose que E est une sous-K-algèbre d’une K-algèbre F : on appelle dérivation de E dans F toute application K-linéaire D de E dans F vérifiant
D(xy) = D(x)y + xD(y), pour tous éléments x et y de E. Les propriétés établies
ci-dessus sont encore vraies dans ce cadre.
Nous allons désormais nous placer dans la situation suivante : F/E est une
extension de corps et nous étudions les Z-dérivations de E dans F .
9. Soit D une dérivation de E dans F . Montrer que l’ensemble
K = {x ∈ E|D(x) = 0} est un sous-corps de E. En déduire que les dérivations de
E dans F sont des K-dérivations.
10. En déduire que toute dérivation d’un corps premier P dans tout sur-corps de
P est nulle.
Pour donner la caractérisation annoncée au début de ce TR, nous allons donner
un critère de prolongement des dérivations aux extensions de type fini.
Soient E ⊂ F des corps et D une dérivation de E dans F . On considère
L = E(x 1 , . . . , x n ) une extension de type fini de E contenue dans F et a l’idéal
des relations algébriques entre les x i , 1 i n, à coefficients dans E. On se
donne une famille u i , 1 i n, d’éléments de F .
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