Thèmes de réflexion
11. Montrer que pour qu’il existe une dérivation D de L dans F prolongeant D et
telle que D(x i ) = u i , 1 i n, il faut et il suffit que pour tout polynôme f ∈ a,
on ait
f
D (x 1 , . . . , x n ) +
n
i=1
∂f
∂x i
u i = 0,
où f D est défini par : si f =
(n i ) α n 1 n 2 ...np X n 1 X n 2 . . . X np , alors
f D =
(n i ) D(α n 1 n 2 ...np )X n 1 X n 2 . . . X np . (On remarquera que f → f D est une
dérivation qui prolonge la dérivation D. Pour démontrer que la condition est suffisante, on montrera que la relation ci-dessus permet de définir D sur l’anneau
E[x 1 , . . . , x n ] et on appliquera le résultat de la question 7.)
12. En déduire que si, dans la situation ci-dessus, L est une extension transcendante pure de E, de base pure (x i ), 1 i n, pour toute dérivation D de E dans
F , D existe et est unique.
13. Soit L une extension algébrique séparable de E contenue dans F . Montrer que
toute dérivation D de E dans F se prolonge de manière unique en une dérivation
D de L dans F . (Pour démontrer l’existence de D, on montrera d’abord qu’on
peut supposer que L est de type fini, L = E(x 1 , . . . , x n ). On fera ensuite un
raisonnement par récurrence sur n, en considérant le polynôme minimal de x n sur
E(x 1 , . . . , x n−1 ).)
14. En déduire que si la dérivation D de E est telle que D(E) ⊂ E, alors
D(L) ⊂ L.
15. Montrer que toute K-dérivation d’une extension E/K est nulle dans toute
extension algébrique séparable de K contenue dans E.
16. Montrer que si L ⊂ F est une extension radicielle finie de K, de degré strictement supérieur à 1, il existe une K-dérivation non nulle de E dans F .
On en déduit la caractérisation des extensions algébriques séparables annoncée
au début de ce TR :
17. Montrer que pour qu’une extension E/K de type fini, E ⊂ F , soit algébrique
et séparable, il faut et il suffit que la seule K-dérivation de E dans F soit la
dérivation nulle.
341
11. Montrer que pour qu’il existe une dérivation D de L dans F prolongeant D et
telle que D(x i ) = u i , 1 i n, il faut et il suffit que pour tout polynôme f ∈ a,
on ait
f
D (x 1 , . . . , x n ) +
n
i=1
∂f
∂x i
u i = 0,
où f D est défini par : si f =
(n i ) α n 1 n 2 ...np X n 1 X n 2 . . . X np , alors
f D =
(n i ) D(α n 1 n 2 ...np )X n 1 X n 2 . . . X np . (On remarquera que f → f D est une
dérivation qui prolonge la dérivation D. Pour démontrer que la condition est suffisante, on montrera que la relation ci-dessus permet de définir D sur l’anneau
E[x 1 , . . . , x n ] et on appliquera le résultat de la question 7.)
12. En déduire que si, dans la situation ci-dessus, L est une extension transcendante pure de E, de base pure (x i ), 1 i n, pour toute dérivation D de E dans
F , D existe et est unique.
13. Soit L une extension algébrique séparable de E contenue dans F . Montrer que
toute dérivation D de E dans F se prolonge de manière unique en une dérivation
D de L dans F . (Pour démontrer l’existence de D, on montrera d’abord qu’on
peut supposer que L est de type fini, L = E(x 1 , . . . , x n ). On fera ensuite un
raisonnement par récurrence sur n, en considérant le polynôme minimal de x n sur
E(x 1 , . . . , x n−1 ).)
14. En déduire que si la dérivation D de E est telle que D(E) ⊂ E, alors
D(L) ⊂ L.
15. Montrer que toute K-dérivation d’une extension E/K est nulle dans toute
extension algébrique séparable de K contenue dans E.
16. Montrer que si L ⊂ F est une extension radicielle finie de K, de degré strictement supérieur à 1, il existe une K-dérivation non nulle de E dans F .
On en déduit la caractérisation des extensions algébriques séparables annoncée
au début de ce TR :
17. Montrer que pour qu’une extension E/K de type fini, E ⊂ F , soit algébrique
et séparable, il faut et il suffit que la seule K-dérivation de E dans F soit la
dérivation nulle.
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