Thèmes de réflexion
(ii) Pour tout entier n > 0, un élément a ∈ K a une seule racine p n -ième dans
K, qu’on notera a p −n
(iii) L’ensemble {a p −n |a ∈ K} est un sous-corps de K, noté K p −n .
L’ensemble des éléments de K radiciels sur K est appelé la clôture radicielle
de K.
6. Montrer que si K est de caractéristique p > 0, la clôture radicielle de K est le
corps
n>0 K p −n , qu’on note K p −∞ .
7. Montrer que K p −∞ est le plus petit sous-corps parfait de K contenant K.
On en déduit qu’un corps est parfait si et seulement s’il est égal à sa
clôture radicielle.
8. Montrer que si le corps K n’est pas parfait, l’extension K p −∞ /K ne peut être
de degré fini.
9. Montrer que la notion de clôture radicielle d’un corps K est indépendante, à
isomorphisme près, de la clôture algébrique K choisie.
Soit E/K une extension avec E ⊂ K. On note E r l’ensemble des éléments de
E radiciels sur K.
10. Montrer que l’extension E/E s est radicielle et que l’extension E/E r est séparable.
♠ TR.XIII.C. Dérivations et extensions séparables
L’objectif de ce TR est de donner une caractérisation des extensions de type
fini qui sont algébriques et séparables, au moyen des dérivations.
Soient K un anneau commutatif et E une K-algèbre associative. Une
K-dérivation de E est un endomorphisme D du K-module E vérifiant
D(xy) = D(x)y + xD(y), pour tous éléments x et y de E.
Lorsque le contexte le permet, on omet la lettre K et on dit dérivation au lieu
de K-dérivation. On remarquera que la notion de dérivation d’un anneau définie
au chapitre VIII correspond à celle donnée ci-dessus en prenant K = Z.
Les dérivations formelles des polynômes en une indéterminée ou les dérivations partielles de polynômes en plusieurs indéterminées sont des exemples de
dérivations dans les algèbres de polynômes.
1. Soit a un élément de E. Vérifier que l’application x → ax−xa est une dérivation
de E. On appelle une telle dérivation dérivation intérieure.
2. Montrer que si E possède un élément unité 1 E , pour toute dérivation D de
E on a D(1 E ) = 0. En déduire que pour tout entier n et pour tout k ∈ K on
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(ii) Pour tout entier n > 0, un élément a ∈ K a une seule racine p n -ième dans
K, qu’on notera a p −n
(iii) L’ensemble {a p −n |a ∈ K} est un sous-corps de K, noté K p −n .
L’ensemble des éléments de K radiciels sur K est appelé la clôture radicielle
de K.
6. Montrer que si K est de caractéristique p > 0, la clôture radicielle de K est le
corps
n>0 K p −n , qu’on note K p −∞ .
7. Montrer que K p −∞ est le plus petit sous-corps parfait de K contenant K.
On en déduit qu’un corps est parfait si et seulement s’il est égal à sa
clôture radicielle.
8. Montrer que si le corps K n’est pas parfait, l’extension K p −∞ /K ne peut être
de degré fini.
9. Montrer que la notion de clôture radicielle d’un corps K est indépendante, à
isomorphisme près, de la clôture algébrique K choisie.
Soit E/K une extension avec E ⊂ K. On note E r l’ensemble des éléments de
E radiciels sur K.
10. Montrer que l’extension E/E s est radicielle et que l’extension E/E r est séparable.
♠ TR.XIII.C. Dérivations et extensions séparables
L’objectif de ce TR est de donner une caractérisation des extensions de type
fini qui sont algébriques et séparables, au moyen des dérivations.
Soient K un anneau commutatif et E une K-algèbre associative. Une
K-dérivation de E est un endomorphisme D du K-module E vérifiant
D(xy) = D(x)y + xD(y), pour tous éléments x et y de E.
Lorsque le contexte le permet, on omet la lettre K et on dit dérivation au lieu
de K-dérivation. On remarquera que la notion de dérivation d’un anneau définie
au chapitre VIII correspond à celle donnée ci-dessus en prenant K = Z.
Les dérivations formelles des polynômes en une indéterminée ou les dérivations partielles de polynômes en plusieurs indéterminées sont des exemples de
dérivations dans les algèbres de polynômes.
1. Soit a un élément de E. Vérifier que l’application x → ax−xa est une dérivation
de E. On appelle une telle dérivation dérivation intérieure.
2. Montrer que si E possède un élément unité 1 E , pour toute dérivation D de
E on a D(1 E ) = 0. En déduire que pour tout entier n et pour tout k ∈ K on
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