Algèbre T1
Dans la situation précédente, on a K ⊂ E s ⊂ E et E \ E s est formé de tous
les éléments de E qui ne sont pas séparables sur K. Lorsque [E : K] est fini, on
a [E : K] = [E : E s ][E s : K] et, comme [E s : K] = [E s : K] s puisque l’extension
E s /K est séparable, on a [E : K] = [E : E s ][E s : K] s . On appelle l’entier [E : E s ]
le facteur d’inséparabilité du degré de l’extension E/K.
Nous allons introduire et étudier un sous-corps de E, noté E r , qui joue un
grand rôle lorsque l’on est en caractéristique p > 0.
2. Soient E/K une extension, α un élément de E algébrique sur K, M α (X) le
polynôme minimal de α sur K. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’élément α n’est pas séparable sur K
(ii) M
α (X) = 0
(iii) La caractéristique de K est égale à p > 0 et M α (X) ∈ K[X p ].
Soient E/K une extension et α un élément de E. On dit que l’élément α est
radiciel sur K si l’une des conditions suivantes est satisfaite :
(a) K est de caractéristique nulle et α appartient à K.
(b) K est de caractéristique p > 0 et il existe n ∈ N tel que α p n appartient à
K. Si on note e le plus petit entier n tel que α p n ∈ K, le polynôme minimal
de α est X p e − α p e .
L’extension E/K est radicielle si tout élément de E est radiciel sur K. On
remarquera que si la caractéristique de K est nulle, l’extension E/K est radicielle
si et seulement si E = K. La notion d’extension radicielle n’a donc d’intérêt que
dans le cas de la caractéristique positive. Par conséquent, dans toute la suite, nous
supposerons que K est un corps de caractéristique p > 0, tous les résultats étant
triviaux si la caractéristique est nulle.
3. Soit K un corps de caractéristique p > 0. Montrer que si E/K est une extension
finie radicielle, [E : K] est une puissance de p.
4. Montrer que si l’extension E/K est radicielle, alors Gal(E/K) = {1}.
5. Soient K un corps de caractéristique p > 0 et K une clôture algébrique de K.
Montrer que :
(i) Pour tout entier n > 0, l’ensemble {a p n |a ∈ K} est un sous-corps de K,
noté K p n
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Dans la situation précédente, on a K ⊂ E s ⊂ E et E \ E s est formé de tous
les éléments de E qui ne sont pas séparables sur K. Lorsque [E : K] est fini, on
a [E : K] = [E : E s ][E s : K] et, comme [E s : K] = [E s : K] s puisque l’extension
E s /K est séparable, on a [E : K] = [E : E s ][E s : K] s . On appelle l’entier [E : E s ]
le facteur d’inséparabilité du degré de l’extension E/K.
Nous allons introduire et étudier un sous-corps de E, noté E r , qui joue un
grand rôle lorsque l’on est en caractéristique p > 0.
2. Soient E/K une extension, α un élément de E algébrique sur K, M α (X) le
polynôme minimal de α sur K. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’élément α n’est pas séparable sur K
(ii) M
α (X) = 0
(iii) La caractéristique de K est égale à p > 0 et M α (X) ∈ K[X p ].
Soient E/K une extension et α un élément de E. On dit que l’élément α est
radiciel sur K si l’une des conditions suivantes est satisfaite :
(a) K est de caractéristique nulle et α appartient à K.
(b) K est de caractéristique p > 0 et il existe n ∈ N tel que α p n appartient à
K. Si on note e le plus petit entier n tel que α p n ∈ K, le polynôme minimal
de α est X p e − α p e .
L’extension E/K est radicielle si tout élément de E est radiciel sur K. On
remarquera que si la caractéristique de K est nulle, l’extension E/K est radicielle
si et seulement si E = K. La notion d’extension radicielle n’a donc d’intérêt que
dans le cas de la caractéristique positive. Par conséquent, dans toute la suite, nous
supposerons que K est un corps de caractéristique p > 0, tous les résultats étant
triviaux si la caractéristique est nulle.
3. Soit K un corps de caractéristique p > 0. Montrer que si E/K est une extension
finie radicielle, [E : K] est une puissance de p.
4. Montrer que si l’extension E/K est radicielle, alors Gal(E/K) = {1}.
5. Soient K un corps de caractéristique p > 0 et K une clôture algébrique de K.
Montrer que :
(i) Pour tout entier n > 0, l’ensemble {a p n |a ∈ K} est un sous-corps de K,
noté K p n
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