THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.XIII.A. Corps parfaits
1. Soit K un corps. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout polynôme irréductible de K[X] est séparable
(ii) Toute extension algébrique de K est séparable
(iii) Toute clôture algébrique de K est une extension séparable de K.
Un corps K satisfaisant à l’une des conditions ci-dessus est dit parfait.
2. Montrer qu’un corps de caractéristique nulle est parfait.
3. Soit K un corps de caractéristique p > 0. Montrer que K est parfait si et
seulement si K = K p . (Autrement dit, si le morphisme de Frobenius est un
automorphisme.)
4. Montrer qu’un corps fini ou algébriquement clos est parfait.
5. Montrer que toute extension algébrique d’un corps parfait est un corps parfait.
♠ TR.XIII.B. Extensions inséparables et radicielles
Une extension algébrique E/K qui n’est pas séparable, i.e. dans laquelle
il existe au moins un élément non séparable, est dite inséparable. D’après
l’exemple (XIII.3.1.a), cette notion n’a de sens qu’en caractéristique p > 0. En particulier, d’après la proposition (XIII.3.2), si α est un élément de E non séparable
sur K, toutes les racines de son polynôme minimal sont d’ordre une puissance de
la caractéristique de K.
1. Soient E/K une extension algébrique et E s l’ensemble des éléments de E qui
sont séparables sur K. Montrer que E s est une extension séparable de K. (On
montrera que E s est la réunion des extensions séparables de K contenues dans E.)
♣ TR.XIII.A. Corps parfaits
1. Soit K un corps. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Tout polynôme irréductible de K[X] est séparable
(ii) Toute extension algébrique de K est séparable
(iii) Toute clôture algébrique de K est une extension séparable de K.
Un corps K satisfaisant à l’une des conditions ci-dessus est dit parfait.
2. Montrer qu’un corps de caractéristique nulle est parfait.
3. Soit K un corps de caractéristique p > 0. Montrer que K est parfait si et
seulement si K = K p . (Autrement dit, si le morphisme de Frobenius est un
automorphisme.)
4. Montrer qu’un corps fini ou algébriquement clos est parfait.
5. Montrer que toute extension algébrique d’un corps parfait est un corps parfait.
♠ TR.XIII.B. Extensions inséparables et radicielles
Une extension algébrique E/K qui n’est pas séparable, i.e. dans laquelle
il existe au moins un élément non séparable, est dite inséparable. D’après
l’exemple (XIII.3.1.a), cette notion n’a de sens qu’en caractéristique p > 0. En particulier, d’après la proposition (XIII.3.2), si α est un élément de E non séparable
sur K, toutes les racines de son polynôme minimal sont d’ordre une puissance de
la caractéristique de K.
1. Soient E/K une extension algébrique et E s l’ensemble des éléments de E qui
sont séparables sur K. Montrer que E s est une extension séparable de K. (On
montrera que E s est la réunion des extensions séparables de K contenues dans E.)