XIII.5. Norme et trace
– Cas général. Ce qu’on vient de faire s’applique à l’extension K(x)/K. Pour
prouver le théorème, il suffit de montrer que P x,L/K (X) = (M x (X)) r . Soient
(y 1 , . . . , y s ) une base de K(x) sur K et (z 1 , . . . , z r ) une base de L sur K(x). Alors,
(y i z j ), 1 i s, 1 j r, est une base de L sur K et n = rs. Soit M = (a kh )
la matrice de la multiplication par x dans K(x), par rapport à la base (y i ). On a
xy i =
h
a ih y h
d’où
x(y i z j ) =
h
a ih y h
z j =
h
a ih (y h z j ).
Si on ordonne lexicographiquement la base y i z j , la matrice M de la multiplication
par x dans L, par rapport à cette base, se présente sous la forme d’une matrice
carrée (r, r), diagonale par blocs :
M
=
⎛
⎜
⎝
M
. . .
M
⎞
⎟
⎠ ,
d’où P x,L/K = det(XId − M ) = (det(XId − M )) r . Mais det(XId − M ) = M x (X)
d’après l’étape 1. D’où le résultat.
Exercice XIII.5. On suppose que E/K est une extension séparable de degré
n, contenue dans une clôture algébrique K de K. On note σ 1 , . . . , σ n les n
K-morphismes distincts de E dans K.
a) Montrer que pour tout élément x de E, on a T r E/K (x) =
n
i=1 σ i (x) et
N E/K (x) =
n
i=1 σ i (x).
b) On suppose que E = Q(
√
d), où d est sans facteur carré (i.e. E est une
extension de degré 2 de Q), en écrivant x ∈ E sous la forme x = a + b
√
d, montrer
que T r E/Q (x) = 2a et N EQ (x) = a 2 − db 2 .
c) Montrer que, si E est normale, pour tout x de E, T r E/K (x) et N E/K (x)
sont des éléments de K.
d) Montrer qu’il existe x dans E tel que T r E/K (x) = 0. (Utiliser le théorème (X.3.1).)
Soit L un corps tel que K ⊂ L ⊂ E et [E : L] = m.
e) Montrer que pour tout élément x de L, on a
T r E/K (x) = mT r L/K (x) et N E/K (x) = (N L/K (x))
m .
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