Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
Remarque XIII.5.1. Si x, x sont des éléments de B et si a est un élément de A,
on a
m x + m x = m x+x , m x .m x = m xx , m ax = am x
et la matrice de m a est diagonale dans n’importe quelle base. On en déduit que
la trace et la norme vérifient les relations suivantes :
T r B/A (x+x
) = T r B/A (x)+T r B/A (x
), Tr B/A (ax) = aT r B/A (x), Tr B/A (a) = na
N B/A (xx
) = N B/A (x)N B/A (x
), N B/A (ax) = a
n N B/A (x), N B/A (a) = a
n .
Si L/K est une extension de corps, finie, séparable, nous allons donner une
explicitation précise de la norme et de la trace d’un élément de L.
Théorème XIII.5.1. Soient L/K une extension séparable, [L : K] = n, x ∈ L et
r = [L : K(x)] (de sorte que n = rs avec s = [K(x) : K]). On note x 1 , . . . , x n les
racines du polynôme minimal sur K de x, M x (X), chacune répétée r fois. Alors :
T r L/K (x) = x 1 + . . . + x n
N L/K (x) = x 1 . . . x n
P x,L/K (X) = (X − x 1 ) . . . (X − x n ).
Démonstration. La démonstration comporte deux étapes.
– Supposons que x soit un élément primitif de L, i.e. L = K(x). On sait que
L K[X]/(M x (X)) et que (1, x, . . . , x n−1 ) est une K-base du K-espace vectoriel
L. Écrivons
M x (X) = X
n + a n−1 X
n−1 + . . . + a 0 .
Alors la matrice de m x dans la base (1, . . . , x n−1 ) est :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · 0 −a 0
1 0 · · · 0 −a 1
0 1 · · · 0 −a 2
. . .
. . . · · ·
. . .
. . .
0 0 · · · 1 −a n−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
donc T r L/K (x) = −a n−1 et N L/K (x) = (−1) n a 0 . Mais puisque x est un élément
primitif, le polynôme minimal de x, M x (X) = X n + a n−1 X n−1 + . . . + a 0 , s’écrit
M x (X) = (X−x 1 ) . . . (X−x n ). Donc −a n−1 = x 1 +. . .+x n et (−1) n a 0 = x 1 . . . x n .
Par conséquent,
T r L/K (x) = x 1 + . . . + x n et N L/K (x) = x 1 . . . x n .
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