XIII.5. Norme et trace
D’où [k(α, β) : k] [k(α + cβ) : k] et, puisque k(α + cβ) ⊂ k(α, β), on en déduit
que k(α, β) = k(α + cβ).
Exercice XIII.4. Soient k un corps de caractéristique nulle et K/k une extension.
Montrer que [K : k] n si et seulement si, pour tout x ∈ K, on a [k(x) : k] n.
(Indication : pour la réciproque, on pourra prendre une famille finie (x i ) i∈I d’éléments de K tels que [k(x i ) i∈I : k] soit maximal – après en avoir justifié l’existence
– et montrer que K = k(x i ) i∈I .)
XIII.5. Norme et trace
Rappelons quelques définitions d’algèbre linéaire. Soient A un anneau commutatif, E un A-module libre de rang fini n (i.e. E A n , isomorphisme linéaire),
u un endomorphisme de E, (e i ) i=1,...,n une base de E et (a ij ) la matrice de u dans
cette base. Les expressions
n
i=1
a ii et det(a ij )
sont indépendantes de la base choisie. On définit alors la trace et le déterminant
de u par
T r(u) =
n
i=1
a ii et det(u) = det(a ij ).
On sait que la trace et le déterminant vérifient T r(u + u ) = T r(u) + T r(u ) et
det(uu ) = det(u)det(u ). De plus, on a
det(XId E − u) = X
n
− T r(u)X
n−1 + . . . + (−1)
n det(u).
On généralise ces définitions de la manière suivante. Soient B un anneau et
A un sous-anneau de B tels que B soit un A-module libre de rang fini n (c’est le
cas d’une extension de corps E/K avec [E : K] = n). Pour tout x ∈ B, on note
m x l’endomorphisme de B défini par m x (y) = xy.
Définition XIII.5.1. Pour tout élément x ∈ B, on appelle trace, norme, polynôme caractéristique de x, relativement à l’extension B/A, les éléments
respectifs
T r B/A (x) = T r(m x ), N B/A (x) = det(m x ), P x,B/A (X) = det(XId B − m x ).
Ce sont des éléments de A ou de A[X].
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