Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de corps intermédiaires k ⊂ E ⊂ K.
Soient x, y ∈ K. Pour tout c ∈ k, on considère k(x + cy). Puisque |k| = +∞,
le nombre de corps k(x + cy) étant fini, il existe c 1 = c 2 ∈ k tels que
k(x + c 1 y) = k(x + c 2 y) = E 0 . Les éléments x + c 1 y et x + c 2 y sont dans le même
corps E 0 , donc aussi (c 1 − c 2 )y. Il en est donc de même pour y et donc aussi x.
D’où
k(x, y) = k(α) avec α = x + c 1 y.
Si K = k(α 1 , . . . , α n ), alors, par hypothèse de récurrence k(α 2 , . . . , α n ) = k(y),
d’où K = k(α 1 , y), puis K = k(α) en vertu du résultat au rang 2.
Réciproquement, supposons K = k(α) : alors α est algébrique (car
[K : k] < +∞ implique K/k algébrique) et soit M α (X) son polynôme minimal
sur k. Soit E un corps intermédiaire, k ⊂ E ⊂ K, et notons f E (X) le polynôme
minimal de α sur E. Comme M α (α) = 0, considéré comme polynôme à coefficients
dans E, f E (X) divise M α (X). Puisque E[X] est principal, un polynôme n’a qu’un
nombre fini de diviseurs. Donc, l’application ϕ définie par ϕ(E) = f E (X) est à
valeurs dans un ensemble fini. Montrons que cette application est injective. On
considère E 0 le sous-corps de E engendré sur k par les coefficients de f E (X). On
peut donc considérer f E (X) dans E 0 [X] et f E (X) est irréductible dans E 0 [X],
puisqu’il est irréductible dans E[X] (E 0 [X] ⊂ E[X]). Par conséquent, le degré de
α sur E 0 est le même que le degré de α sur E. D’où E 0 = E. Ceci montre que le
corps intermédiaire E est déterminé, de manière unique, par f E (X), donc ϕ est
injective. L’ensemble des corps intermédiaires E, k ⊂ E ⊂ K, est donc fini.
Théorème XIII.4.2. Toute extension finie séparable admet un élément primitif.
Démonstration. Si |k| < +∞, le résultat est vrai d’après le théorème précédent.
Supposons que |k| = +∞ : on a K = k(α 1 , . . . , α q ). On peut, modulo une récurrence, supposer K = k(α, β), où α et β sont séparables sur k. Soit k une clôture
algébrique de k et σ 1 , . . . , σ n les k-plongements distincts de k(α, β) dans k. On
forme le polynôme
P (X) =
1i
Ce polynôme est non nul : si σ i (α) = σ j (α) et σ i (β) = σ j (β), on a σ i = σ j , ce
qui est impossible car, ∀i = j, σ i = σ j . Puisque |k| = +∞, il existe c ∈ k tel que
P (c) = 0. D’où i = j implique σ i (α + cβ) = σ j (α + cβ). Par conséquent, le degré
séparable, donc le degré, de l’extension k(α + cβ)/k est au moins n. Mais
n = [k(α, β) : k] s = [k(α, β) : k].
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Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de corps intermédiaires k ⊂ E ⊂ K.
Soient x, y ∈ K. Pour tout c ∈ k, on considère k(x + cy). Puisque |k| = +∞,
le nombre de corps k(x + cy) étant fini, il existe c 1 = c 2 ∈ k tels que
k(x + c 1 y) = k(x + c 2 y) = E 0 . Les éléments x + c 1 y et x + c 2 y sont dans le même
corps E 0 , donc aussi (c 1 − c 2 )y. Il en est donc de même pour y et donc aussi x.
D’où
k(x, y) = k(α) avec α = x + c 1 y.
Si K = k(α 1 , . . . , α n ), alors, par hypothèse de récurrence k(α 2 , . . . , α n ) = k(y),
d’où K = k(α 1 , y), puis K = k(α) en vertu du résultat au rang 2.
Réciproquement, supposons K = k(α) : alors α est algébrique (car
[K : k] < +∞ implique K/k algébrique) et soit M α (X) son polynôme minimal
sur k. Soit E un corps intermédiaire, k ⊂ E ⊂ K, et notons f E (X) le polynôme
minimal de α sur E. Comme M α (α) = 0, considéré comme polynôme à coefficients
dans E, f E (X) divise M α (X). Puisque E[X] est principal, un polynôme n’a qu’un
nombre fini de diviseurs. Donc, l’application ϕ définie par ϕ(E) = f E (X) est à
valeurs dans un ensemble fini. Montrons que cette application est injective. On
considère E 0 le sous-corps de E engendré sur k par les coefficients de f E (X). On
peut donc considérer f E (X) dans E 0 [X] et f E (X) est irréductible dans E 0 [X],
puisqu’il est irréductible dans E[X] (E 0 [X] ⊂ E[X]). Par conséquent, le degré de
α sur E 0 est le même que le degré de α sur E. D’où E 0 = E. Ceci montre que le
corps intermédiaire E est déterminé, de manière unique, par f E (X), donc ϕ est
injective. L’ensemble des corps intermédiaires E, k ⊂ E ⊂ K, est donc fini.
Théorème XIII.4.2. Toute extension finie séparable admet un élément primitif.
Démonstration. Si |k| < +∞, le résultat est vrai d’après le théorème précédent.
Supposons que |k| = +∞ : on a K = k(α 1 , . . . , α q ). On peut, modulo une récurrence, supposer K = k(α, β), où α et β sont séparables sur k. Soit k une clôture
algébrique de k et σ 1 , . . . , σ n les k-plongements distincts de k(α, β) dans k. On
forme le polynôme
P (X) =
1i
Ce polynôme est non nul : si σ i (α) = σ j (α) et σ i (β) = σ j (β), on a σ i = σ j , ce
qui est impossible car, ∀i = j, σ i = σ j . Puisque |k| = +∞, il existe c ∈ k tel que
P (c) = 0. D’où i = j implique σ i (α + cβ) = σ j (α + cβ). Par conséquent, le degré
séparable, donc le degré, de l’extension k(α + cβ)/k est au moins n. Mais
n = [k(α, β) : k] s = [k(α, β) : k].
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