XIII.4. Éléments primitifs
Démonstration. Montrons d’abord que toutes les racines α = α 1 , ..., α n de M α (X)
ont même ordre de multiplicité. Pour tout i, 1 i n, il existe un k-isomorphisme
σ : k(α) −→ k(α i ) tel que σ(α) = α i , d’où un k-automorphisme σ de k qui
prolonge σ. On a σ(M α )(X) = M α (X) =
n
i=1
(X − σ(α i )) m i (car σ(α i ) parcourt
les conjugués de α i , i.e. les racines de M α (x)), où m i est l’ordre de multiplicité
de α i . Comme k[X] est principal, par unicité de la décomposition en facteurs
irréductibles, on a m i = m 1 . Ceci est vrai pour tout i. Donc toutes les racines ont
même ordre de multiplicité.
On considère l’entier μ 0 tel que M α (X) = h(X p μ ) et h /
∈ k[X p ]. Alors,
d’après (XI.1.6), α p μ est racine d’un polynôme séparable et, en comparant les
degrés de M α (X) et h(X), on a :
[k(α) : k(α
p μ )] = p
μ
car h(X) est irréductible sur k, c’est donc M α p μ . Mais comme h est séparable,
on a :
[k(α
p μ ) : k] s = [k(α
p μ ) : k].
De plus, le nombre de racines distinctes de M α (X) est le même que celui de h(X).
Donc :
[k(α) : k] s = [k(α
p μ ) : k] s
et
[k(α) : k] = [k(α) : k(α
p μ )][k(α
p μ ) : k] = p
μ [k(α) : k] s .
XIII.4. Éléments primitifs
Définition XIII.4.1. Soient K/k une extension et α ∈ K. On dit que α est un
élément primitif de l’extension K/k si K = k(α).
Théorème XIII.4.1. Soit K/k une extension finie. Il existe un élément primitif pour
l’extension K/k si et seulement s’il n’y a qu’un nombre fini de corps intermédiaires E, k ⊂ E ⊂ K.
Démonstration. Si |k| < +∞, alors [K : k] < +∞ implique |K| < +∞. Donc
K est cyclique, engendré par un élément α (TR.IX.A). Cet élément engendre K
sur k.
Traitons maintenant le cas |k| = +∞.
331
Démonstration. Montrons d’abord que toutes les racines α = α 1 , ..., α n de M α (X)
ont même ordre de multiplicité. Pour tout i, 1 i n, il existe un k-isomorphisme
σ : k(α) −→ k(α i ) tel que σ(α) = α i , d’où un k-automorphisme σ de k qui
prolonge σ. On a σ(M α )(X) = M α (X) =
n
i=1
(X − σ(α i )) m i (car σ(α i ) parcourt
les conjugués de α i , i.e. les racines de M α (x)), où m i est l’ordre de multiplicité
de α i . Comme k[X] est principal, par unicité de la décomposition en facteurs
irréductibles, on a m i = m 1 . Ceci est vrai pour tout i. Donc toutes les racines ont
même ordre de multiplicité.
On considère l’entier μ 0 tel que M α (X) = h(X p μ ) et h /
∈ k[X p ]. Alors,
d’après (XI.1.6), α p μ est racine d’un polynôme séparable et, en comparant les
degrés de M α (X) et h(X), on a :
[k(α) : k(α
p μ )] = p
μ
car h(X) est irréductible sur k, c’est donc M α p μ . Mais comme h est séparable,
on a :
[k(α
p μ ) : k] s = [k(α
p μ ) : k].
De plus, le nombre de racines distinctes de M α (X) est le même que celui de h(X).
Donc :
[k(α) : k] s = [k(α
p μ ) : k] s
et
[k(α) : k] = [k(α) : k(α
p μ )][k(α
p μ ) : k] = p
μ [k(α) : k] s .
XIII.4. Éléments primitifs
Définition XIII.4.1. Soient K/k une extension et α ∈ K. On dit que α est un
élément primitif de l’extension K/k si K = k(α).
Théorème XIII.4.1. Soit K/k une extension finie. Il existe un élément primitif pour
l’extension K/k si et seulement s’il n’y a qu’un nombre fini de corps intermédiaires E, k ⊂ E ⊂ K.
Démonstration. Si |k| < +∞, alors [K : k] < +∞ implique |K| < +∞. Donc
K est cyclique, engendré par un élément α (TR.IX.A). Cet élément engendre K
sur k.
Traitons maintenant le cas |k| = +∞.
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