Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
Démonstration. En effet, si K/k est séparable et si k ⊂ E ⊂ K, alors E/k est séparable et on applique le théorème (XIII.3.1). Réciproquement, pour tout α ∈ K,
en prenant E = k(α), on déduit de l’hypothèse que α est séparable sur k.
Les extensions séparables satisfont la propriété de transitivité :
Théorème XIII.3.2. Soient K/k et L/K des extensions algébriques. Alors L/k
est une extension séparable si et seulement si K/k et L/K sont des extensions
séparables.
Démonstration. Remarquons d’abord que si [L : k] < +∞, on a
[L : k] = [L : K][K : k] et [L : k] s = [L : K] s [K : k] s
et
[L : K] s [L : K] et [K : k] s [K : k],
d’où
([L : k] s = [L : k]) ⇐⇒ ([L : K] s = [L : K] et [K : k] s = [K : k]).
Considérons maintenant le cas général.
Si L/k est séparable, il est évident que K/k est séparable. Pour tout α ∈ L,
le polynôme minimal de α sur k, considéré à coefficients dans K, s’annule en α.
Donc M α (X) |K divise M α (X) |k et α est séparable sur K, d’où le résultat.
Supposons que K/k et L/K sont séparables. Soit α ∈ L : il existe K tel que
k ⊂ K ⊂ K, [K : k] < +∞ avec M α (X) |K ∈ K [X]. On pose L = K (α) ;
or, on sait que K/k séparable implique que K /k est séparable et, puisque L /K
est séparable (car α est séparable sur K et M α (X) |K = M α (X) |K ), d’après la
démonstration dans le cas fini, on a L /k séparable, d’où α est séparable sur k.
Nous avons vu précédemment (Remarque 3.2), que si k est de caractéristique
nulle, tout polynôme irréductible non constant de k[X] est séparable. C’est donc
le cas du polynôme minimal d’un élément algébrique sur k. Nous allons donner
ici un résultat qui précise l’ordre de multiplicité de ses racines dans le cas où le
corps k est de caractéristique p > 0.
Proposition XIII.3.4. Soient k un corps de caractéristique p > 0, k une clôture
algébrique de k, α ∈ k et M α (X) le polynôme minimal de α sur k. Toutes les
racines de M α (X) sont d’ordre de multiplicité p μ , pour un certain entier μ 0.
De plus, α p μ est séparable sur k et
[k(α) : k] = p
μ [k(α) : k] s .
330
Démonstration. En effet, si K/k est séparable et si k ⊂ E ⊂ K, alors E/k est séparable et on applique le théorème (XIII.3.1). Réciproquement, pour tout α ∈ K,
en prenant E = k(α), on déduit de l’hypothèse que α est séparable sur k.
Les extensions séparables satisfont la propriété de transitivité :
Théorème XIII.3.2. Soient K/k et L/K des extensions algébriques. Alors L/k
est une extension séparable si et seulement si K/k et L/K sont des extensions
séparables.
Démonstration. Remarquons d’abord que si [L : k] < +∞, on a
[L : k] = [L : K][K : k] et [L : k] s = [L : K] s [K : k] s
et
[L : K] s [L : K] et [K : k] s [K : k],
d’où
([L : k] s = [L : k]) ⇐⇒ ([L : K] s = [L : K] et [K : k] s = [K : k]).
Considérons maintenant le cas général.
Si L/k est séparable, il est évident que K/k est séparable. Pour tout α ∈ L,
le polynôme minimal de α sur k, considéré à coefficients dans K, s’annule en α.
Donc M α (X) |K divise M α (X) |k et α est séparable sur K, d’où le résultat.
Supposons que K/k et L/K sont séparables. Soit α ∈ L : il existe K tel que
k ⊂ K ⊂ K, [K : k] < +∞ avec M α (X) |K ∈ K [X]. On pose L = K (α) ;
or, on sait que K/k séparable implique que K /k est séparable et, puisque L /K
est séparable (car α est séparable sur K et M α (X) |K = M α (X) |K ), d’après la
démonstration dans le cas fini, on a L /k séparable, d’où α est séparable sur k.
Nous avons vu précédemment (Remarque 3.2), que si k est de caractéristique
nulle, tout polynôme irréductible non constant de k[X] est séparable. C’est donc
le cas du polynôme minimal d’un élément algébrique sur k. Nous allons donner
ici un résultat qui précise l’ordre de multiplicité de ses racines dans le cas où le
corps k est de caractéristique p > 0.
Proposition XIII.3.4. Soient k un corps de caractéristique p > 0, k une clôture
algébrique de k, α ∈ k et M α (X) le polynôme minimal de α sur k. Toutes les
racines de M α (X) sont d’ordre de multiplicité p μ , pour un certain entier μ 0.
De plus, α p μ est séparable sur k et
[k(α) : k] = p
μ [k(α) : k] s .
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