XIII.3. Extensions séparables
Théorème XIII.3.1. Si K/k une extension finie, les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’extension K/k est séparable
(ii) [K : k] s = [K : k].
Démonstration. Cas monogène : On suppose K = k(α), α algébrique sur k. On a
alors les équivalences suivantes :
(1) (α séparable sur k) ⇐⇒ [k(α) : k] s = [k(α) : k]
(2) ([k(α) : k] s = [k(α) : k]) ⇐⇒ k(α)/k séparable.
En effet :
(1) découle de la proposition (XIII.3.2) (i.e. [k(α) : k] s = nombre de racines
distinctes de M α (X)) ; pour (2), remarquons que k(α)/k séparable implique α séparable sur k, d’où [k(α) : k] s = [k(α) : k] d’après (1). D’autre part, montrons que
([k(α) : k] s = [k(α) : k]) =⇒ k(α)/k séparable.
Soit β ∈ k(α), on a :
[k(α) : k(β)] s [k(β) : k] s = [k(α) : k] s .
Mais α est séparable sur k(β), car le polynôme minimal de α sur k(β) divise le
polynôme minimal de α sur k, d’où :
[k(α) : k(β)] s = [k(α) : k(β)].
On en déduit que
[k(β) : k] s = [k(α) : k] s /[k(α) : k(β)] s = [k(α) : k]/[k(α) : k(β)] = [k(β) : k].
D’où, d’après (1), β est séparable sur k et k(α) séparable sur k.
Cas général : Si K = k(α 1 , . . . , α n ), on applique le cas monogène et la multiplicativité du degré et du degré séparable.
Corollaire XIII.3.1. Soit K/k une extension algébrique. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) L’extension K/k est séparable
(ii) Pour tout corps intermédiaire E tel que l’extension E/k soit finie,
[E : k] s = [E : k].
329
Théorème XIII.3.1. Si K/k une extension finie, les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) L’extension K/k est séparable
(ii) [K : k] s = [K : k].
Démonstration. Cas monogène : On suppose K = k(α), α algébrique sur k. On a
alors les équivalences suivantes :
(1) (α séparable sur k) ⇐⇒ [k(α) : k] s = [k(α) : k]
(2) ([k(α) : k] s = [k(α) : k]) ⇐⇒ k(α)/k séparable.
En effet :
(1) découle de la proposition (XIII.3.2) (i.e. [k(α) : k] s = nombre de racines
distinctes de M α (X)) ; pour (2), remarquons que k(α)/k séparable implique α séparable sur k, d’où [k(α) : k] s = [k(α) : k] d’après (1). D’autre part, montrons que
([k(α) : k] s = [k(α) : k]) =⇒ k(α)/k séparable.
Soit β ∈ k(α), on a :
[k(α) : k(β)] s [k(β) : k] s = [k(α) : k] s .
Mais α est séparable sur k(β), car le polynôme minimal de α sur k(β) divise le
polynôme minimal de α sur k, d’où :
[k(α) : k(β)] s = [k(α) : k(β)].
On en déduit que
[k(β) : k] s = [k(α) : k] s /[k(α) : k(β)] s = [k(α) : k]/[k(α) : k(β)] = [k(β) : k].
D’où, d’après (1), β est séparable sur k et k(α) séparable sur k.
Cas général : Si K = k(α 1 , . . . , α n ), on applique le cas monogène et la multiplicativité du degré et du degré séparable.
Corollaire XIII.3.1. Soit K/k une extension algébrique. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
(i) L’extension K/k est séparable
(ii) Pour tout corps intermédiaire E tel que l’extension E/k soit finie,
[E : k] s = [E : k].
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