Chapitre XIII. Extensions normales, séparables
b) Le cardinal de S σ est également indépendant du choix de k. En effet, cela
résulte du fait que le nombre de k-morphismes K −→ k est indépendant de k : si
Ω est une autre clôture algébrique de k et si ϕ : k −→ Ω est un k-isomorphisme
(corollaire XII.2.3), alors σ → ϕ ◦ σ induit une bijection de l’ensemble des
k-morphismes K −→ k dans l’ensemble des k-morphismes K −→ Ω.
Définition XIII.3.2. Avec les notations précédentes, on appelle degré séparable de K sur k, ou degré séparable de l’extension algébrique K/k,
le cardinal de S σ . Lorsque ce cardinal est fini, on le note [K : k] s .
Proposition XIII.3.2. Si α est algébrique sur k et si K = k(α), alors [K : k] s est
égal au nombre de racines distinctes du polynôme minimal sur k de α, dans un
corps de décomposition sur k de ce polynôme.
Démonstration. Par définition, [k(α) : k] s = card(S σ ), avec σ : k −→ k. On
considère l’application λ → λ(α), où λ appartient à S σ . C’est, d’après (1.3),
une application bijective de S σ sur l’ensemble des racines distinctes du polynôme
minimal de α.
Proposition XIII.3.3. Soient K/k et L/K des extensions telles que L/k soit algébrique.
(i) [L : k] s est fini si et seulement si [L : K] s et [K : k] s sont finis et alors
[L : k] s = [L : K] s [K : k] s .
(ii) Si K/k est finie, [K : k] s [K : k].
Démonstration. (i). Soit σ : k k→ k et soit σ i : K −→ k, i ∈ I, la famille
des prolongements à K de σ, distincts. On a [K : k] s = Card(I). Soit i ∈ I
et soit σ i,j : L −→ k, j ∈ J(i), les prolongements distincts de σ i à L. On
a [L : K] s = Card(J(i)). Tout σ : L −→ k est un prolongement d’un σ i , d’où
σ i,j , (i, j) ∈ I × J(i), est la famille des prolongements distincts de σ à L. D’où
[L : k] s = Card(I × J(i)) = [K : k] s [L : K] s .
(ii). On a K = k(α 1 , . . . , α n ) et k ⊂ k(α 1 ) ⊂ . . . ⊂ k(α 1 , . . . , α n ) = K.
À chaque étape, on a, d’après la proposition (XIII.3.2), [K i (α i+1 ) : K i ] s
[K i (α i+1 ) : K i ], d’où [K : k] s [K : k].
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b) Le cardinal de S σ est également indépendant du choix de k. En effet, cela
résulte du fait que le nombre de k-morphismes K −→ k est indépendant de k : si
Ω est une autre clôture algébrique de k et si ϕ : k −→ Ω est un k-isomorphisme
(corollaire XII.2.3), alors σ → ϕ ◦ σ induit une bijection de l’ensemble des
k-morphismes K −→ k dans l’ensemble des k-morphismes K −→ Ω.
Définition XIII.3.2. Avec les notations précédentes, on appelle degré séparable de K sur k, ou degré séparable de l’extension algébrique K/k,
le cardinal de S σ . Lorsque ce cardinal est fini, on le note [K : k] s .
Proposition XIII.3.2. Si α est algébrique sur k et si K = k(α), alors [K : k] s est
égal au nombre de racines distinctes du polynôme minimal sur k de α, dans un
corps de décomposition sur k de ce polynôme.
Démonstration. Par définition, [k(α) : k] s = card(S σ ), avec σ : k −→ k. On
considère l’application λ → λ(α), où λ appartient à S σ . C’est, d’après (1.3),
une application bijective de S σ sur l’ensemble des racines distinctes du polynôme
minimal de α.
Proposition XIII.3.3. Soient K/k et L/K des extensions telles que L/k soit algébrique.
(i) [L : k] s est fini si et seulement si [L : K] s et [K : k] s sont finis et alors
[L : k] s = [L : K] s [K : k] s .
(ii) Si K/k est finie, [K : k] s [K : k].
Démonstration. (i). Soit σ : k k→ k et soit σ i : K −→ k, i ∈ I, la famille
des prolongements à K de σ, distincts. On a [K : k] s = Card(I). Soit i ∈ I
et soit σ i,j : L −→ k, j ∈ J(i), les prolongements distincts de σ i à L. On
a [L : K] s = Card(J(i)). Tout σ : L −→ k est un prolongement d’un σ i , d’où
σ i,j , (i, j) ∈ I × J(i), est la famille des prolongements distincts de σ à L. D’où
[L : k] s = Card(I × J(i)) = [K : k] s [L : K] s .
(ii). On a K = k(α 1 , . . . , α n ) et k ⊂ k(α 1 ) ⊂ . . . ⊂ k(α 1 , . . . , α n ) = K.
À chaque étape, on a, d’après la proposition (XIII.3.2), [K i (α i+1 ) : K i ] s
[K i (α i+1 ) : K i ], d’où [K : k] s [K : k].
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